House of Math-logo

Hva er polarform for komplekse tall?

kartesisk form skriver du komplekse tall på formen z = a + bi, som svarer til koordinatene (a,b). Istedenfor kan du uttrykke et komplekst tall z med avstanden r fra origo til z og vinkelen 𝜃 som z danner med den reelle aksen i det komplekse planet. Dette kalles polarform og du kan trykke her for å lære hvordan du går mellom kartesisk form og polarform.

Visualisering av polarform i det komplekse planet.

Avstanden fra z til origo kalles normen til z og betegnes ofte r eller |z|. Andre ord for norm er absoluttverdi, tallverdi, modulus og lengde. Vinkelen som z danner med den reelle aksen kalles argumentet til z og betegnes ofte 𝜃 eller ϕ. Du kan tenke på argumentet 𝜃 som retningen z peker.

Den kartesiske formen z = a + bi og polarformen z = (r,𝜃) er ekvivalente måter å skrive det samme tallet z. Polarformen (r,𝜃) svarer til ett unikt komplekst tall z. Men et komplekst tall z har ikke én unik polarform. Vinklene 𝜃 og 𝜃 + 2π k for heltall k peker i samme retning. Polarformene (r,𝜃) og (r,𝜃 + 2π k) vil derfor svare til samme komplekse tall z for alle heltall k. Vanligvis ønskes det at argumentet enten skal være i intervallet [0, 2π eller i intervallet π,π], men argumenter i høyere omløp vil fortsatt svare til det samme komplekse tallet.

Visualisering av argument i høyere omløp.

Det er ikke mulig å ordne komplekse tall i seg selv, men med polarform kan du sammenlikne normen til tall. For eksempel er z = (5, π 3 ) større enn w = (2, π 6 ) fordi normen til z er større enn normen til w.

Eksempel 1

Skisser mengden {z : |z| < 1} av komplekse tall z som oppfyller |z| < 1

I denne oppgaven skal du skissere alle komplekse tall z som har norm mindre enn 1. I det komplekse plan er dette en disk med sentrum i origo og radius 1.

Skissert område i det komplekse planet.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Hva er det komplekse planet?
Neste oppslagPil som peker til høyre
Hva er norm og argument til et komplekst tall?