Hva er polarform for komplekse tall?

På kartesisk form skriver du komplekse tall på formen $z=a+bi$, som svarer til koordinatene $\left(a,b\right)$. Istedenfor kan du uttrykke et komplekst tall $z$ med avstanden $r$ fra origo til $z$ og vinkelen $𝜃$ som $z$ danner med den reelle aksen i det komplekse planet. Dette kalles polarform og du kan trykke her for å lære hvordan du går mellom kartesisk form og polarform.

Avstanden fra $z$ til origo kalles normen til $z$ og betegnes ofte $r$ eller $\left|z\right|$. Andre ord for norm er absoluttverdi, tallverdi, modulus og lengde. Vinkelen som $z$ danner med den reelle aksen kalles argumentet til $z$ og betegnes ofte $𝜃$ eller $\varphi$. Du kan tenke på argumentet $𝜃$ som retningen $z$ peker.

Den kartesiske formen $z=a+bi$ og polarformen $z=\left(r,𝜃\right)$ er ekvivalente måter å skrive det samme tallet $z$. Polarformen $\left(r,𝜃\right)$ svarer til ett unikt komplekst tall $z$. Men et komplekst tall $z$ har ikke én unik polarform. Vinklene $𝜃$ og $𝜃+2\pi \cdot k$ for heltall $k\in \mathbb{Z}$ peker i samme retning. Polarformene $\left(r,𝜃\right)$ og $\left(r,𝜃+2\pi \cdot k\right)$ vil derfor svare til samme komplekse tall $z$ for alle heltall $k$. Vanligvis ønskes det at argumentet enten skal være i intervallet $[0,2\pi ⟩$ eller i intervallet $⟨-\pi ,\pi ]$, men argumenter i høyere omløp vil fortsatt svare til det samme komplekse tallet.

Det er ikke mulig å ordne komplekse tall i seg selv, men med polarform kan du sammenlikne normen til tall. For eksempel er $z=\left(5,\frac{\pi }{3}\right)$ større enn $w=\left(2,\frac{\pi }{6}\right)$ fordi normen til $z$ er større enn normen til $w$.