Hva er norm og argument til et komplekst tall?

Siden kartesisk form og polarform er ekvivalente måter å skrive samme komplekse tall $z$ finnes det regler for omgjøring mellom representasjonsformene. Hvis du tegner opp et komplekst tall $z$ i det komplekse planet, kan du bruke Pytagoras’ setning og trigonometri for å finne normen og argumentet til $z$.

I det komplekse planet vil et komplekst tall $z=a+bi$ danne en rettvinklet trekant med kateter med lengde $a$ og $b$. I dette geometriske bildet vil normen til $z,$ som er definert som avstanden fra $z$ til origo, være lengden av hypotenusen i trekanten. Du kan derfor bruke Pytagoras’ setning for å finne normen til komplekse tall:

Ved å bruke enten sinus, cosinus eller tangens, kan du finne argumentet $𝜃$:

Alle uttrykkene over gir to verdier for argumentet $𝜃$. Du finner det riktige argumentet ved å bruke to av formlene og velge den verdien som går igjen i begge to. Det er også mulig å se på fortegnene til $a$ og $b$ eller tegne opp tallet og velge den vinkelen som er i riktig kvadrant.

Den rettvinklede trekanten som et komplekst tall $z$ danner i det komplekse planet kan også brukes til å gjøre om fra polarform $z=\left(r,𝜃\right)$ til kartesisk form $z=a+bi$.

Den siste formen for komplekse tall knytter sammen komplekse tall og trigonometriske funksjoner. Dette er veldig viktig når du jobber med den komplekse eksponentialfunksjonen.