Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як iнтерпретувати й обчислювати визначений iнтеграл


Iнтеграли переважно дiлять на двi категорiї: визначенi та невизначенi iнтеграли. Визначений iнтеграл означає iнтеграл, обмежений графiком функцiї f(x), вiссю x i двома значеннями на осi x (площi та об’єми). Графiк може лежати вище й нижче осi x. Важливо знати, якi площi ви розглядаєте, оскiльки це може вплинути на вiдповiдь пiд час розрахунку.

Теорiя

Визначений iнтеграл

abf(x)dx = F(b) F(a),F(x) = f(x)

Площа визначеного iнтегралу

Зверни увагу! Якщо графiк f(x) лежить нижче осi x мiж a i b, то abf(x)dx обчислює цi частини площi як вiд’ємнi. Отже, на рисунку вище визначений iнтеграл не обчислюватиме заштриховану площу. Натомiсть вiн обчислюватиме площу, яка лежить вище осi x мiнус площа, яка лежить нижче осi x. Щоб знайти заштриховану площу, потрiбно роздiлити iнтеграл на рiвнi нулiв i знайти суму визначених iнтегралiв, у яких функцiя додатна, мiнус сума визначених iнтегралiв, у яких функцiя вiд’ємна.

Зверни увагу! Кожне завдання визначає, чи варто брати до уваги геометричну iнтерпретацiю. Якщо в умовах завдання сказано знайти певний iнтеграл, то його треба обчислити безпосередньо, а не думати про те, в якому положеннi вiдносно осi x перебуває графiк. Якщо в умовах завдання сказано знайти площу, то потрiбно враховувати знак, роздiливши iнтеграл на додатну та вiд’ємну частини!

Приклад 1

Обчисли визначений iнтеграл 0π 3 sin xdx

У цьому випадку можна розв’язати iнтеграл безпосередньо. Вiн має такий вигляд: 0π 3 sin xdx = cos x|0π 3 = cos π 3 ( cos 0) = 1 2 (1) = 1 2

Приклад 2

Обчисли площу мiж x = 0, x = 3π 2 i графiком cos x

У цьому випадку потрiбно знайти площу, а отже, потрiбно з’ясувати, в яких точках функцiя лежить вище i нижче осi x. Перше, що потрiбно зробити — це знайти нулi функцiї в iнтервалi: cos x = 0 x = π 2 + n2πx = π 2 + n2π

Як бачимо, x = π 2 перебуває в межах iнтервалу x [0,b3π 2 ]. Другий нуль у iнтервалi — це π 2 + 2π = 3π 2 .

Приклад визначеного iнтеграла 1

Як видно з рисунка, графiк лежить вище осi x в iнтервалi [0, π 2 ) (Площа 1) i нижче осi x в iнтервалi (π 2, 3π 2 ) (Площа 2). Отже, для кожної з них потрiбно обчислити iнтеграли. Площа 1: A1 =0π 2 cos xdx = sin x|0π 2 = sin π 2 ( sin 0) = 1 0 = 1

Площа 2: A2 =π 2 3π 2 cos xdx = sin x|π2 3π 2 = sin 3π 2 (sin π 2 ) = 1 1 = 2

Отже, площа всiєї областi складає:

A = Площа 1 Площа 2 = 1 (2) = 3.

Приклад 3

Що станеться з площею, якщо не враховувати, в якому положеннi перебуває графiк вiдносно осi x, якщо вiн лежить одночасно i вище, i нижче осi?

Як бачимо на рисунку, площа, яку ми обчислюємо, складається з площ A, A i B. Тобто, площа має вiдповiдати значенню у Приклад 2:

|A| + |A| + |B| = 2A + B

Утiм, через те, що графiк частково лежить вище осi x (A), а частково — нижче осi x ( A i B), A i A виключають одна одну. Тодi нам залишається площа B, а iнтеграл дає розв’язок:

A + (A) + B = A A + B = B

Очевидно, що B не є площею 2A + B. Отже, потрiбно звернути увагу, чи сказано в завданнi знайти площу чи обчислити визначений iнтеграл!

Приклад визначеного iнтегралу 2

Зверни увагу!

  • У випадку, коли весь графiк знаходиться вище осi x, обчисленi площа та теоретичний визначений iнтеграл однаковi.

  • У випадку, коли весь графiк знаходиться нижче осi x, обчисленi площа та теоретичний визначений iнтеграл однаковi, але мають протилежнi знаки.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Які основні співвідношення в інтегруванні потрібно знати?
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як інтерпретувати й обчислювати невизначений інтеграл