Як інтерпретувати й обчислювати визначений інтеграл

Iнтеграли переважно дiлять на двi категорiї: визначенi та невизначенi iнтеграли. Визначений iнтеграл означає iнтеграл, обмежений графiком функцiї $f (x)$ , вiссю $x$ i двома значеннями на осi $x$ (площi та об’єми). Графiк може лежати вище й нижче осi $x$ . Важливо знати, якi площi ви розглядаєте, оскiльки це може вплинути на вiдповiдь пiд час розрахунку.

Теорiя

Визначений iнтеграл

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x)

Площа визначеного iнтегралу

Зверни увагу! Якщо графiк $f (x)$ лежить нижче осi $x$ мiж $a$ i $b$ , то $\int_{a}^{b} f (x) d x$ обчислює цi частини площi як вiд’ємнi. Отже, на рисунку вище визначений iнтеграл не обчислюватиме заштриховану площу. Натомiсть вiн обчислюватиме площу, яка лежить вище осi $x$ мiнус площа, яка лежить нижче осi $x$ . Щоб знайти заштриховану площу, потрiбно роздiлити iнтеграл на рiвнi нулiв i знайти суму визначених iнтегралiв, у яких функцiя додатна, мiнус сума визначених iнтегралiв, у яких функцiя вiд’ємна.

Зверни увагу! Кожне завдання визначає, чи варто брати до уваги геометричну iнтерпретацiю. Якщо в умовах завдання сказано знайти певний iнтеграл, то його треба обчислити безпосередньо, а не думати про те, в якому положеннi вiдносно осi $x$ перебуває графiк. Якщо в умовах завдання сказано знайти площу, то потрiбно враховувати знак, роздiливши iнтеграл на додатну та вiд’ємну частини!

Приклад 1

Обчисли визначений iнтеграл $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x d x$

У цьому випадку можна розв’язати iнтеграл безпосередньо. Вiн має такий вигляд:

\begin{array}{l} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x d x & = - \cos x |_{0}^{\frac{π}{3}} \\ = - \cos \frac{π}{3} - (- \cos 0) \\ = - \frac{1}{2} - (- 1) \\ = \frac{1}{2} \end{array}

Приклад 2

Обчисли площу мiж $x = 0$ , $x = \frac{3 π}{2}$ i графiком $\cos x$

У цьому випадку потрiбно знайти площу, а отже, потрiбно з’ясувати, в яких точках функцiя лежить вище i нижче осi $x$ . Перше, що потрiбно зробити — це знайти нулi функцiї в iнтервалi:

\begin{matrix} \cos x = 0 \\ ⇓ \\ x = \frac{π}{2} + n 2 π x = - \frac{π}{2} + n 2 π \end{matrix}

Як бачимо, $x = \frac{π}{2}$ перебуває в межах iнтервалу $x \in [0, b \frac{3 π}{2}]$ . Другий нуль у iнтервалi — це $- \frac{π}{2} + 2 π = \frac{3 π}{2}$ .

Як видно з рисунка, графiк лежить вище осi

x

в iнтервалi

[0, \frac{π}{2})

(Площа 1) i нижче осi

x

в iнтервалi

(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

(Площа 2). Отже, для кожної з них потрiбно обчислити iнтеграли. Площа 1:

\begin{array}{l} A_{1} & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x \\ = \sin x |_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = \sin \frac{π}{2} - (- \sin 0) \\ = 1 - 0 \\ = 1 \end{array}

Площа 2:

\begin{array}{l} A_{2} & = \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos x d x \\ = \sin x |_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \\ = \sin \frac{3 π}{2} - (\sin \frac{π}{2}) \\ = - 1 - 1 \\ = - 2 \end{array}

Отже, площа всiєї областi складає:

A = Площа 1 - Площа 2 = 1 - (- 2) = 3 .

Приклад 3

Що станеться з площею, якщо не враховувати, в якому положеннi перебуває графiк вiдносно осi $x$ , якщо вiн лежить одночасно i вище, i нижче осi?

Як бачимо на рисунку, площа, яку ми обчислюємо, складається з площ $A$ , $- A$ i $B$ . Тобто, площа має вiдповiдати значенню у Приклад 2:

| A | + | - A | + | B | = 2 A + B

Утiм, через те, що графiк частково лежить вище осi $x$ ( $A$ ), а частково — нижче осi $x$ ( $- A$ i $B$ ), $A$ i $- A$ виключають одна одну. Тодi нам залишається площа $B$ , а iнтеграл дає розв’язок:

A + (- A) + B = A - A + B = B

Очевидно, що $B$ не є площею $2 A + B$ . Отже, потрiбно звернути увагу, чи сказано в завданнi знайти площу чи обчислити визначений iнтеграл!

Приклад визначеного iнтегралу 2

Зверни увагу!

У випадку, коли весь графiк знаходиться вище осi $x$ , обчисленi площа та теоретичний визначений iнтеграл однаковi.
У випадку, коли весь графiк знаходиться нижче осi $x$ , обчисленi площа та теоретичний визначений iнтеграл однаковi, але мають протилежнi знаки.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Які основні співвідношення в інтегруванні потрібно знати?

Наступна стаття

Як інтерпретувати й обчислювати невизначений інтеграл

Повернутися