House of Math-logo

Anvendelser av kvadratsetningene

Å bruke kvadratsetningene baklengs

Det er svært nyttig å vite hva (a + b)2 kan skrives om til, men det er ofte enda mer nyttig å se hva a2 + 2ab + b2 kan omskrives til. Det betyr at selv om (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, så er det minst like viktig å vite at

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.

Eksempel 1

Første kvadratsetning baklengs

Du skal faktorisere x2 + 6x + 9 ved hjelp av første kvadratsetning baklengs

Her skal du få uttrykket på formen (a + b)2, og du må derfor finne hva som er a og b. Uttrykket du har fått oppgitt er på formen a2 + 2ab + b2. a må være lik x, ettersom uttrykket starter med a2 som her er lik x2. Så må du finne b. Dette gjøres ved å finne kvadratroten av b2 = 9, og så må du se om 2b blir lik 6.

9 = ±3, 3 2x = 6x, 3 2x = 6x

9 = ±3,3 2x = 6x, 3 2x = 6x

Dermed ser du at b = 3, b = 3 stemte ikke overens med at 2b = 6. Nå får du at x2 + 6x + 9 = x2 + 2 3x + 3 3 = (x + 3)2.

Du ser på et til eksempel, hvor du i tillegg må faktorisere ut felles ledd.

Eksempel 2

Konjugatsetningen baklengs

Du skal faktorisere 2x3 50x

Her må du først faktorisere ut felles ledd:

= 2x3 50x = 2 x x x 2 5 5 x = 2x (x2 25) .

2x3 50x = 2 x x x 2 5 5 x = 2x (x2 25) .

(x2 25) er et uttrykk hvor du kan bruke tredje kvadratsetning baklengs,
(x2 25) = (x + 5)(x 5).

Du har da

2x (x2 25) = 2x(x + 5)(x 5).

Å forkorte rasjonale uttrykk

Bruker du alt du har lært om faktorisering og kvadratsetninger hittil kan du nå forkorte brøker av typen
x2 + ax + a2 x2 + bx + b2 .

Når du skal forkorte brøker er det veldig viktig å huske at en felles faktor må finnes i alle ledd. Dersom det er et ledd i brøken som ikke har en faktor alle andre ledd har, er det ikke lov å stryke den! Du ser på noen eksempler.

Eksempel 3

Du skal forkorte brøken 3x 6 x2 4x + 4

I denne brøken har du to ledd i telleren og tre ledd i nevneren. 3x = 3 x og 6 = 2 3 er de to leddene i telleren. x2 = x x, 4x = 4 x og 4 = 2 2 er de tre leddene i nevneren. Her er det ingen felles faktorer, og dermed kan du ikke stryke noe slik som brøken ser ut nå. Men, om du starter med å faktorisere teller og nevner hver for seg, kan du se om det da dukker opp noen felles faktorer: Teller = 3x 6 = 3(x 2) Nevner = x2 4x + 4 = (x 2)2 = (x 2)(x 2)

Nå har du faktorisert telleren og nevneren, og står kun igjen med ett ledd i teller og ett ledd i nevner. 3(x 2) i teller og (x 2)2 i nevner. Du ser at (x 2) er en felles faktor i begge ledd, og dermed får du 3x 6 x2 4x + 4 = 3(x 2) (x 2)2 = 3(x 2) (x 2)(x 2) = 3 x 2

NB! Over ser du at et ledd ikke trenger å være en enkelt bokstav, det kan også være et uttrykk slik som (x 2)2. Det er plusser og minuser som skiller opp i forskjellige ledd.

Eksempel 4

Å forkorte rasjonale uttrykk

Du skal forkorte brøken x + 1 x2 4 + x 2 + 1 4

Her er det ingenting du kan gjøre med telleren, men hvis du multipliserer nevneren med 4 får du 4 (x2 4 + x 2 + 1 4) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2.

Den nye nevneren gir deg et lettere uttrykk å jobbe med. Siden du nå multipliserte nevneren med 4, må du også multiplisere telleren med 4. Dette gir deg 4 (x + 1) i teller. Du ser at (x + 1) er en felles faktor i begge ledd, og du får da at

x + 1 x2 4 + x 2 + 1 4 = 4(x + 1) (x + 1)2 = 4 x + 1.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Konjugatsetningen
Neste oppslagPil som peker til høyre
Aktiviteter 2