Anvendelser av kvadratsetningene

Å bruke kvadratsetningene baklengs

Det er svært nyttig å vite hva ${(a + b)}^{2}$ kan skrives om til, men det er ofte enda mer nyttig å se hva $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ kan omskrives til. Det betyr at selv om ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , så er det minst like viktig å vite at

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} .

Eksempel 1

Første kvadratsetning baklengs

Du skal faktorisere $x^{2} + 6 x + 9$ ved hjelp av første kvadratsetning baklengs

Her skal du få uttrykket på formen ${(a + b)}^{2}$ , og du må derfor finne hva som er $a$ og $b$ . Uttrykket du har fått oppgitt er på formen $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . $a$ må være lik $x$ , ettersom uttrykket starter med $a^{2}$ som her er lik $x^{2}$ . Så må du finne $b$ . Dette gjøres ved å finne kvadratroten av $b^{2} = 9$ , og så må du se om 2b blir lik 6.

\begin{array}{l} \sqrt{9} & = \pm 3, \\ 3 \cdot 2 x & = 6 x, \\ - 3 \cdot 2 x & = - 6 x \end{array}

\sqrt{9} = \pm 3, 3 \cdot 2 x = 6 x, - 3 \cdot 2 x = - 6 x

Dermed ser du at

b = 3

b = - 3

stemte ikke overens med at

2 b = 6

. Nå får du at

\begin{array}{l} x^{2} + 6 x + 9 & = x^{2} + 2 \cdot 3 x + 3 \cdot 3 \\ = {(x + 3)}^{2} . \end{array}

Du ser på et til eksempel, hvor du i tillegg må faktorisere ut felles ledd.

Eksempel 2

Konjugatsetningen baklengs

Du skal faktorisere $2 x^{3} - 50 x$

Her må du først faktorisere ut felles ledd:

\begin{array}{l} 2 x^{3} - 50 x \\ = 2 \cdot x \cdot x \cdot x - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot x \\ = 2 x (x^{2} - 25) . \end{array}

\begin{array}{l} 2 x^{3} - 50 x & = 2 \cdot x \cdot x \cdot x - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot x \\ = 2 x (x^{2} - 25) . \end{array}

(x^{2} - 25)

er et uttrykk hvor du kan bruke tredje kvadratsetning baklengs,

(x^{2} - 25) = (x + 5) (x - 5) .

Du har da

2 x (x^{2} - 25) = 2 x (x + 5) (x - 5) .

Å forkorte rasjonale uttrykk

Bruker du alt du har lært om faktorisering og kvadratsetninger hittil kan du nå forkorte brøker av typen

\frac{x^{2} + a x + a^{2}}{x^{2} + b x + b^{2}} .

Når du skal forkorte brøker er det veldig viktig å huske at en felles faktor må finnes i alle ledd. Dersom det er et ledd i brøken som ikke har en faktor alle andre ledd har, er det ikke lov å stryke den! Du ser på noen eksempler.

Eksempel 3

Du skal forkorte brøken $\frac{3 x - 6}{x^{2} - 4 x + 4}$

I denne brøken har du to ledd i telleren og tre ledd i nevneren. $3 x = 3 \cdot x$ og $- 6 = - 2 \cdot 3$ er de to leddene i telleren. $x^{2} = x \cdot x$ , $- 4 x = - 4 \cdot x$ og $4 = 2 \cdot 2$ er de tre leddene i nevneren. Her er det ingen felles faktorer, og dermed kan du ikke stryke noe slik som brøken ser ut nå. Men, om du starter med å faktorisere teller og nevner hver for seg, kan du se om det da dukker opp noen felles faktorer:

\begin{array}{l} Teller & = 3 x - 6 \\ = 3 (x - 2) \\ Nevner & = x^{2} - 4 x + 4 \\ = {(x - 2)}^{2} \\ = (x - 2) (x - 2) \end{array}

Nå har du faktorisert telleren og nevneren, og står kun igjen med ett ledd i teller og ett ledd i nevner. $3 (x - 2)$ i teller og ${(x - 2)}^{2}$ i nevner. Du ser at $(x - 2)$ er en felles faktor i begge ledd, og dermed får du

\begin{array}{l} \frac{3 x - 6}{x^{2} - 4 x + 4} & = \frac{3 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} \\ = \frac{3 (x-2)}{(x-2) (x - 2)} \\ = \frac{3}{x - 2} \end{array}

NB! Over ser du at et ledd ikke trenger å være en enkelt bokstav, det kan også være et uttrykk slik som ${(x - 2)}^{2}$ . Det er plusser og minuser som skiller opp i forskjellige ledd.

Eksempel 4

Å forkorte rasjonale uttrykk

Du skal forkorte brøken $\frac{x + 1}{\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}}$

Her er det ingenting du kan gjøre med telleren, men hvis du multipliserer nevneren med 4 får du

\begin{array}{l} 4 \cdot (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}) & = x^{2} + 2 x + 1 \\ = {(x + 1)}^{2} . \end{array}

Den nye nevneren gir deg et lettere uttrykk å jobbe med. Siden du nå multipliserte nevneren med 4, må du også multiplisere telleren med 4. Dette gir deg $4 \cdot (x + 1)$ i teller. Du ser at $(x + 1)$ er en felles faktor i begge ledd, og du får da at

\frac{x + 1}{\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{4 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{4}{x + 1} .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!