House of Math-logo
House of Math-logo
Logg inn/Registrer deg
Meny-ikon
Meny

Forkorting av rasjonale uttrykk

Når du skal forkorte et rasjonalt uttrykk bruker du ofte polynomdivisjon. På den måten er ofte svaret på polynomdivisjonen den forkortingen du leter etter. Det finnes to tilfeller det er viktig å være klar over:

1.
Tilfellet der polynomdivisjonen går opp og uttrykket kan forkortes.
2.
Tilfellet der polynomdivisjonen ikke går opp og uttrykket ikke kan forkortes.

Regel

Forkorting av rasjonale uttrykk

Rasjonale uttrykk faktoriseres ved at du gjør én av følgende:

1.
Du faktoriserer teller og nevner hver for seg, og stryker like faktorer.

Denne metoden bruker du når graden i telleren er mindre eller lik graden i nevneren.

2.
Du utfører polynomdivisjonen, der svaret på polynomdivisjonen er forkortingen.

Denne metoden bruker du når graden i telleren er større enn graden i nevneren.

Under følger eksempler for å illustrere nettopp dette:

Polynomdivisjonen går opp og uttrykket kan forkortes

Dersom graden i telleren er høyere enn graden i nevneren vil du bruke polynomdivisjon. Dersom divisjonen går opp har du forkortet uttrykket ditt og svaret av polynomdivisjonen er forkortingen. Hvis polynomdivisjonen ikke går opp kan ikke uttrykket forkortes.

Dersom graden i telleren er mindre enn graden i nevneren vil du forsøke å faktorisere telleren og nevneren hver for seg. En lur fremgangsmåte er å finne nullpunktene til andregradsuttrykket og teste disse nullpunktene som løsninger i det andre polynomet.

Eksempel 1

Forkort uttrykket x3 + 2x2 − 5x − 6 x − 2

Her ser du at telleren har høyere grad enn nevneren. Da begynner du med polynomdivisjon:

Polynomdivisjon av x^3+2x^2-5x-6 delt på x-2

Du får 0 i rest og dermed blir det forkortede uttrykket:

x3 + 2x2 − 5x − 6 x − 2 = x2 + 4x + 3.

Eksempel 2

Skriv uttrykket

x2 + x − 6 x3 − 2x2 − x + 2

så enkelt som mulig

Graden i telleren er mindre enn graden i nevneren slik at du vil faktorisere teller og nevner hver for seg.

Du begynner med telleren og andregradsuttrykket. Ved inspeksjon eller abc-formelen finner du løsningene til andregradspolynomet ved å sette det lik 0, og finner faktoriseringen (x + 3) (x − 2).

Nå må du finne faktoriseringen til tredjegradsuttrykket i nevneren. En smart fremgangsmåte er da å sjekke løsningene som du fant i telleren. Du tester derfor løsningene x = −3 og x = 2 i tredjegradsuttrykket.

Sjekker først x = −3:

= (−3) 3 − 2 (−3) 2 −(−3) + 2 = −27 − 18 + 3 + 2 = −40 ≠0.

(−3) 3 − 2 (−3) 2 −(−3) + 2 = −27 − 18 + 3 + 2 = −40 ≠0.

x = −3 er ikke en løsning av polynomet.

Sjekker så x = 2:

(2) 3 − 2 (2) 2 −(2) + 2 = 8 − 8 − 2 + 2 = 0

x = 2 er en løsning av polynomet og en faktor blir dermed (x − 2). Du må nå bruke dette til å utføre polynomdivisjonen (x3 − 2x2 − x + 2) : (x − 2):

Polynomdivisjon av x^3-2x^2-x+2 delt på x-2

Du ser nå at

= (x3 − 2x2 − x + 2) = (x − 2) (x2 − 1) = (x − 2) (x − 1) (x + 1) .

(x3 − 2x2 − x + 2) = (x − 2) (x2 − 1) = (x − 2) (x − 1) (x + 1) .

Dermed blir faktoriseringen:

x2 + x − 6 x3 − 2x2 − x + 2 = (x + 3) (x − 2) (x − 1) (x − 2) (x + 1) = x + 3 (x − 1) (x + 1) .

Eksempel 3

Forkort uttrykket x2 + x − 6 x3 − x2 − 2x

x2 + x − 6 x3 − x2 − 2x = (x − 2) (x + 3) x (x2 − x − 2) = (x − 2) (x + 3) x(x − 2) (x + 1) = x + 3 x (x + 1)

Polynomdivisjonen går ikke opp og uttrykket kan ikke forkortes

Teori

Årsaken til at rest betyr at uttrykket ikke kan forkortes

For å forkorte uttrykket må du ha lik faktor i teller og nevner. Når divisjonen ikke går opp har du vist at nevneren ikke er en faktor i telleren, og dermed har ikke telleren og nevneren noen like faktorer å stryke!

Eksempel 4

Forkort uttrykket 4x2 + x + 6 x − 2

Da begynner du med polynomdivisjonen siden graden i telleren er større enn graden i nevneren:

Polynomdivisjon av 4x^2+x+6 delt på x-2

Du får 24 i rest og divisjonen går ikke opp.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Hvordan faktorisere polynomer av grad 3 og 4
Tilbake