Hvordan faktorisere polynomer av grad 3 og 4

Når du skal faktorisere polynomer av grad 3 eller høyere ønsker du å bruke teknikker som etterlater deg med et andregradsuttrykk. Den aller viktigste teknikken for å få til dette er polynomdivisjon.

Når du sitter igjen med et andregradsuttrykk faktoriserer du dette på vanlig måte, ved å sette

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}),

der $x_{1}$ og $x_{2}$ er løsninger av likningen

a x^{2} + b x + c = 0 .

Løsningene finner du ved inspeksjon, $a b c$ -formel eller ved digitale hjelpemidler. Men først noen viktige poenger:

Teori

Viktige poenger ved polynomdivisjon

Hvis $P (a) = 0$ , så er $x = a$ en løsning av likningen $P (x) = 0$ og dermed går divisjonen $P (x) : (x - a)$ opp.
Når $P (x) : (x - a)$ går opp får du at $P (x) : (x - a) = Q (x)$ , der $Q (x)$ er et nytt polynom, men av lavere grad enn $P (x)$ .
Dersom $Q (x)$ er av grad 3 eller høyere må du gjette på løsning en gang til. Om $Q (x)$ er av grad 2 faktoriserer du andregradsuttrykket på vanlig måte.
En faktorisering av $P (x)$ er $P (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ .

I oppgaver der du skal faktorisere polynomer av høyere grad får du enten oppgitt én verdi du skal sjekke, eller så er det et tydelig hint om hva som kan være riktig. I oppgavene i dette kurset pleier det å være nok å teste ulike verdier for

x

. Ofte er en av løsningene

x = - 2, - 1, 0, 1, 2

. Du sjekker løsningen ved å sette verdien for

x

inn i polynomet og se om svaret blir 0. Dersom svaret blir 0, vet du at verdien du satt inn er en løsning på likningen, og du kan begynne faktoriseringen.

Regel

Faktorisering av polynomer ved polynomdivisjon

1.: Sjekk om det er en potens av $x$ i alle ledd. Dersom det er tilfellet faktoriserer du ut den høyeste graden av $x$ som er felles i alle ledd. Dersom du nå har et andregradsuttrykk faktoriser dette slik som vist over. Eksempelvis: $\begin{array}{l} 4 x^{4} + 2 x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2} + 1) . \end{array}$
Hvis ikke, gå til Punkt 2.
2.: Dersom polynomet fra start ikke har $x$ i alle ledd må du gjette på løsning. Da bruker du verdiene som ble introdusert over: $x = 1, - 1, 2, - 2 \dots$
3.: Kall uttrykket ditt for $P (x)$ og test de ulike verdiene $P (0), P (1), P (- 1), \dots$ til du finner en som passer, det vil si en $P (a) = 0$ .
4.: Nå regner du ut $P (x) : (x - a)$ ved hjelp av polynomdivisjon.
5.: Gjenta denne prosessen inntil du har et polynom av grad 2 eller lavere.
6.: Bruk formelen for faktorisering av andregradsuttrykk og faktoriser ferdig.

Her er noen eksempler på faktorisering av $n$ -tegradspolynomer:

\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c \\ = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ a x^{3} + b x^{2} + c x + d \\ = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) \\ a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + f \\ = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) \end{array}

\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ a x^{3} + b x^{2} + c x + d & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) \\ a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + f & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) \\ a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + f x + g & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) (x - x_{5}) \end{array}

Generelt faktoriserer du polynomer som dette:

\begin{array}{l} a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} \\ = a_{n} (x - x_{1}) \dots (x - x_{n}) \end{array}

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x - x_{1}) \dots (x - x_{n})

Dersom det er sammenfallende løsninger må disse tas med like mange ganger som de er sammenfallende. Eksempelvis, når du har en andregradsfunksjon som kun treffer

x

-aksen i ett punkt

x = x_{1}

, så skriver du faktoriseringen slik som dette:

a (x - x_{1}) (x - x_{1}) = a {(x - x_{1})}^{2} .

Det er slik at et $n$ -te grads polynom høyst har $n$ løsninger. De kan også ha færre. For eksempel, et tredjegradspolynom har enten tre, to eller én reell løsning. I tilfellet der det er én reell løsning, vil faktoriseringen kunne se slik ut:

x^{3} + x + 2 = (x + 1) (x^{2} - x + 2)

Her er $x = - 1$ den reelle løsningen til tredjegradspolynomet, og hele grafen til $x^{2} - x + 2$ ligger over $x$ -aksen, slik at den produserer ingen løsninger.

Eksempel 1

Faktoriser polynomet $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Siden det ikke er $x$ i alle ledd, må du gjette på løsninger. Du begynner med $x = 1$ : $\begin{array}{l} P (1) & = {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 5 (1) - 6 \\ = 1 + 2 - 5 - 6 \\ = - 8 \\ \neq 0 . \end{array}$

Du prøver videre med $x = - 1$ : $\begin{array}{l} P (- 1) & = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 (- 1) - 6 \\ = - 1 + 2 + 5 - 6 \\ = 0 . \end{array}$

Altså går $(x - (- 1)) = (x + 1)$ opp i $P (x)$ . Du kan dermed utføre polynomdivisjonen:

Polynomdivisjon av x^3+2x^2-5x-6 delt på x+1

Du har nå fått det andregradsuttrykket som du ønsket. Dermed kan du faktorisere dette slik du kjenner fra før, enten med $a b c$ -formel eller ved inspeksjon:

Finner $x = x_{1}$ og $x = x_{2}$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm 5}{2}, \end{array}$

som gir $x_{1} = 2$ og $x_{2} = - 3$ . Dermed blir faktoriseringen av andregradsuttrykket $(x - 2) (x + 3)$ . Du kan nå konkludere med at faktoriseringen til tredjegradsuttrykket blir: $\begin{array}{l} P (x) & = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 \\ = (x + 1) (x - 2) (x + 3) . \end{array}$

Eksempel 2

Løs likningen $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

For å løse slike likninger må du først ha null på én side av likheten, deretter faktorisere uttrykket, for så å sette faktoriseringen lik 0 og løse likningen. Venstresiden av likningen faktoriserte du slik som i Eksempel 1, dermed får du følgende: