House of Math-logo

Hvordan løse tredje- og fjerdegradslikninger

Fra tidligere har du lært å løse lineære likninger (likninger av første grad) og andregradslikninger (likninger av andre grad). I denne seksjonen skal du se på en spesiell type n-tegradslikning (likninger av n-te gard). Du vil i hovedsak se på tredjegrads- og fjerdegradslikninger, og metoden er den samme for begge.

Teori

Typer av tredjegradslikninger

1.
Likningen har x i alle ledd:
ax3 + bx2 + cx = 0.
2.
Likningen har konstantledd:
ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Regel

Løsing av tredjegradslikninger med x i alle ledd

1.
Faktoriser x utenfor en parentes, x (ax2 + bx + c) = 0.
2.
Faktoriser andregradsuttrykket, (x x1) (x x2) = 0.
3.
Faktoriseringen av tredjegradsuttrykket blir da
x (x x1) (x x2) = 0.

4.
Løs likningen med nullfaktorregelen
(a b = 0 hvis a = 0 eller b = 0). Du får da at x = a, x = x1 og x = x2.
5.
Løs likningen med nullfaktorregelen (a b = 0 hvis a = 0 eller b = 0). Du får da at x = a, x = x1 og x = x2.

Eksempel 1

Løs likningen x3 + 2x2 + x = 0

1.
Du følger oppskriften over og faktoriserer x utenfor en parentes: x3 + 2x2 + x = 0, x (x2 + 2x + 1) = 0.
2.
Nå faktoriserer du andregradsuttrykket enten ved abc-formelen eller inspeksjon. x2 + 2x + 1 = 0, (x 1) (x 1) = 0.
3.
Faktoriseringen av tredjegradsuttrykket blir da x (x 1) (x 1) = 0.
4.
Så løser du likningen: x (x 1) (x 1) = 0 x = 0 og x = 1

Eksempel 2

Løs likningen x4 = 9x2

x4 = 9x2 x4 9x2 = 0 x2 (x2 9) = 0 x2 (x 3) (x + 3) = 0 Nå er det bare å bruke nullfaktorregelen for å finne løsningene: x2 (x 3) (x + 3) = 0 x2 = 0 x = 0 og x = 3 og x = 3

Regel

Løsing av tredjegradslikninger med konstantledd

1.
Gjett på løsning og polynomdivider.
2.
Faktoriser tredjegradsuttrykket, (x a) (ax2 + bx + c) = 0.
3.
Faktoriser andregradsuttrykket, (x x1) (x x2).
4.
Faktoriseringen av tredjegradsuttrykket blir da
(x a) (x x1) (x x2) = 0.

5.
Løs likningen med produktsetningen
(a b = 0 hvis a = 0 eller b = 0). Du får da at x = 0, x = x1 og x = x2.
6.
Løs likningen med produktsetningen (a b = 0 hvis a = 0 eller b = 0). Du får da at x = 0, x = x1 og x = x2.

Eksempel 3

Løs likningen x3 7x = 6

1.
Først flytter du alle leddene over på venstre side. x3 7x = 6 x3 7x + 6 = 0

Nå må du gjette på løsning. Begynner med x = 1:

(1) 3 7 (1) + 6 = 1 7 + 6 = 0.

Flaks for deg, den første løsningen du gjettet på var riktig. (Du begynner som oftest med 1 når du gjetter på løsning).

Du må nå polynomdividere likningen med (x 1). Siden uttrykket mangler x2-leddet, så setter du inn ekstra mellomrom der x2-leddet ville vært, eller sett 0 foran x2 i polynomdivisjonen. På denne måten er det lettere å holde orden på leddene.

Polynomdivisjon av x^3-7x+6 delt på x-1

2.
Faktoriseringen blir dermed
(x 1) (x2 + x 6) .
3.
Du må nå faktorisere andregradsfaktoren x2 + x 6 ved abc-formelen eller inspeksjon. Når du løser likningen
x2 + x 6 = 0

får du svarene x = 2 og x = 3. Setter inn i faktoriseringsformelen a (x x1) (x x2) slik at faktoriseringen blir

(x 2) (x + 3) .
4.
Nå kan du finne faktoriseringen av tredjegradsuttrykket ved å lage et produkt av faktorene:
x3 7x + 6 = (x 1) (x 2) (x + 3)

x3 7x + 6 = (x 1) (x 2) (x + 3)

5.
Til slutt er det bare å løse likningen: (x 1) (x 2) (x + 3) = 0 x = 1 og x = 2 og x = 3

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Hva er polynomdivisjon?