Hva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er, som ordet sier, divisjon med polynomer. Et polynom er en sum av ledd på formen axn, der a (reelle tall) og n (naturlig tall). Teknikken er akkurat som den du lærte for divisjon på barneskolen.

Polynomdivisjon dukker ofte opp når du skal faktorisere polynomer av høyere grad, slik som

ax3 + bx2 + cx + d,

eller når du skal løse polynomlikninger av høyere grad. Et av de viktigste triksene er da å gjette hva én av løsningene til likningen kan være. Dette høres litt sprøtt ut, men du utfører en kvalifisert gjetning fremfor å trekke tilfeldige tall ut av en hatt. Å gjette på løsning vil si at du prøver forskjellige tall

x = 1, 1,2, 2,3, 3,

ved å sette inn i uttrykket og se om utregningen blir 0. Det høres i utgangspunktet litt underlig ut å skulle gjette på løsninger, men ikke fortvil, dette er ganske enkelt.

Teori

Viktig informasjon ved polynomdivisjon

  • Divisjonen P (x) : (x a) går opp hvis P (a) = 0. Da er x = a en løsning av likningen P (x) = 0. Altså, dersom P (a) = 0 er a en løsning av likningen P (x) = 0.

  • Divisjonen P (x) : (x a) går ikke opp hvis P (a)0. Da er x = a ikke en løsning av likningen P (x) = 0 og du vil få en rest når du utfører divisjonen.

Polynomdivisjon er lettest bortlært ved et eksempel fremfor en kronglete oppskrift. Her kommer et eksempel på hvordan du sjekker om x = a er en løsning og noen eksempler på polynomdivisjon med forklaring.

NB! Dividend er det samme som teller og divisor er det samme som nevner.

Eksempel 1

Sjekk om x3 + 2x2 3x 2 er delelig med x 1.

Du vet at P (x) = x3 + 2x2 3x 2 er delelig med x 1 dersom P (1) = 0. Du regner ut

P (1) = (1) 3 + 2 (1) 2 3 (1) 2 = 1 + 2 3 2 = 2 0.

Du kan dermed konkludere med at

x3 + 2x2 3x 2

ikke er delelig med x 1.

Eksempel 2

Polynomdivisjon uten rest

Følg punktene under og sørg for at du skjønner fremgangsmåten. Prøv selv og se om du får den samme utregningen!

Polynomdivisjon av x^3+2x^2-5x-6 delt på x-2

1.
Først spør du: «Hva må jeg gange x med for å få x3?» Svaret er: x2.
2.
Skriv x2 til høyre for likhetstegnet og x3 under x3 til venstre i regnestykket.
3.
Nå ganger du x2 med 2 som gir 2x2. Sett (2x2) = 2x2 til høyre for x3 på linje 2 i regnestykket.
4.
Legg sammen leddene på linje 2 med de tilhørende leddene på linje 1, og trekk ned det første leddet i dividenden som ikke har et ledd under seg.
5.
Så begynner du prosessen en gang til og gjennomfører den til du ikke har flere ledd igjen i dividenden.
6.
Dersom du nå har null i rest har divisjonen gått opp.
7.
Dersom du ikke har null i rest, lager du en brøk med resten i telleren og divisoren fra stykket i nevneren, og plusser dette på uttrykket til høyre for likhetstegnet.

Eksempel 3

Polynomdivisjon med rest

Følg punktene under og sørg for at du skjønner fremgangsmåten. Prøv selv og se om du får den samme utregningen!

Polynomdivisjon av 2x^2-5x-6 delt på x-1

1.
Først spør du: «Hva må jeg gange x med for å få 2x2?» Svaret er: 2x.
2.
Skriv 2x til høyre for likhetstegnet og 2x2 under 2x2 til venstre i regnestykket.
3.
Nå ganger du 2x med 1 som gir 2x. Sett (2x) = 2x til høyre for x3 på linje 2 i regnestykket.
4.
Legg sammen leddene på linje 2 med de tilhørende leddene på linje 1, og trekk ned det første leddet i dividenden som ikke har et ledd under seg.
5.
Så begynner du prosessen en gang til og gjennomfører den til du ikke har flere ledd igjen i dividenden.
6.
Dersom du nå har null i rest har divisjonen gått opp.
7.
Dersom du ikke har null i rest, lager du en brøk med resten i telleren og divisoren fra stykket i nevneren, og plusser dette på uttrykket til høyre for likhetstegnet.

Eksempel 4

Gitt uttrykket

(ax2 x + 4) : (x 1) ,

hva a være for at polynomdivisjonen skal opp?

Alternativ 1 (tungvint)

I denne metoden må du først utføre polynomdivisjonen og deretter sette restleddet lik 0 og løse for a.

Polynomdivisjon av ax^2-x+4 delt på x-1

Sett nå resten 3 + a = 0 og løs. Dette gir a = 3. Altså, a = 3 gjør at polynomdivisjonen går opp.

Alternativ 2 (lett)

Siden du får oppgitt et delestykke der divisjonen går opp, så vet du at

P (x) = (ax2 x + 4) = 0

når x = 1. Dermed kan du sette x = 1 inn for x og løse ut a. Slik som dette:

P (1) = a 12 1 + 4 = 0 a + 3 = 0 a = 3

Dersom a = 3 så vil divisjonen (ax2 x + 4) : (x 1) gå opp. Betraktelig lettere enn Alternativ 1! Denne type oppgaver er en gjenganger på eksamen.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!