Meny

...

>Rasjonale likninger>Hvordan løse rasjonale likninger

Hvordan løse rasjonale likninger

Tidligere lærte du hvordan du skal bli kvitt en nevner med tall. Nå skal du lære å bli kvitt en nevner med bokstaver. Den gode nyheten er at fremgangsmåten er identisk! For å finne fellesnevneren, ganger du sammen alle de ulike faktorene bare én gang. Etter dette blir du en mester i rasjonale likninger.

Regel

1.: Finn fellesnevneren
2.: Multipliser alle leddene med fellesnevneren ved å stryke. Legg merke til at jeg setter en parentes rundt tellerne.
3.: Tenk PEMDAS! Løs først opp parentesene.
4.: Flytt alle tall-leddene over på én side. Husk å bytte fortegn.
5.: Flytt alle $x$ -leddene over på den andre siden. Husk å bytte fortegn.
6.: Trekk sammen på begge sider.
7.: Multipliser eller divider begge sider med det tallet som gjør at $x$ ikke er alene.

Tenk på dette

En sterk anbefaling fra meg er at du regner mange oppgaver med dette. Det kommer på eksamen, men når metoden først sitter, er den vanskelig å glemme. I tillegg er det slik at dersom du mestrer dette, mestrer du også algebra og brøkregning. Jippi for det!

Eksempel 1

Løs likningen

\frac{x + 1}{x} + 2 = \frac{3}{x + 1} + 3

for $x$

Du ganger opp likningen med fellesnevneren som er $x (x + 1)$ :

\begin{array}{l} x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} \\ + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{x + 1} \\ + 3 \cdot x (x + 1) \\ x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} \\ + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{(x+1)} \\ + 3 \cdot x (x + 1) \\ (x + 1) (x + 1) \\ + 2 x (x + 1) & = x \cdot 3 \\ + 3 x (x + 1) \\ x^{2} + 2 x + 1 + \\ 2 x^{2} + 2 x & = 3 x + 3 x^{2} + 3 x \end{array}

\begin{array}{l} x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{x + 1} + 3 \cdot x (x + 1) \\ x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} + 2 \cdot x (x + 1) & = x \cdot \frac{3}{(x+1)} + 3 \cdot x (x + 1) \\ (x + 1) (x + 1) + 2 x (x + 1) & = x \cdot 3 + 3 x (x + 1) \\ x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} + 2 x & = 3 x + 3 x^{2} + 3 x \end{array}

Nå flytter du alle

x

-leddene på én side og talleddene på den andre siden:

x^{2} + 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x + 2 x - 3 x - 3 x = - 1

Du trekker sammen:

- 2 x = - 1

Du dividerer på tallet som gjør at $x$ ikke er alene:

\begin{array}{l} \frac{-2 x}{-2} & = - \frac{1}{- 2} \\ x & = \frac{1}{2} \end{array}

Eksempel 2

Løs likningen

\frac{3 x}{x^{2} - 4} = \frac{2}{x + 2} - \frac{2}{x - 2}

for $x$

Du ganger opp likningen med fellesnevneren $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ :

\begin{array}{l} (x^{2} - 4) \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x + 2)} \\ - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x - 2)} \\ \cdot \frac{3 x}{x^{2}-4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x+2)} \\ - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x-2)} \\ 3 x & = (x - 2) \cdot 2 - (x + 2) \cdot 2 \\ 3 x & = 2 x - 4 - 2 x - 4 \end{array}

\begin{array}{l} (x^{2} - 4) \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x + 2)} - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x - 2)} \\ \cdot \frac{3 x}{x^{2}-4} & = (x - 2) \cdot \frac{2}{(x+2)} - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x-2)} \\ 3 x & = (x - 2) \cdot 2 - (x + 2) \cdot 2 \\ 3 x & = 2 x - 4 - 2 x - 4 \end{array}

Nå flytter du alle

x

-leddene på én side og talleddene på den andre siden:

3 x - 2 x + 2 x = - 4 - 4

Du trekker sammen:

3 x = - 8

Du dividerer på tallet som gjør at $x$ ikke er alene:

\begin{array}{l} \frac{3 x}{3} & = \frac{- 8}{3} \\ x & = - \frac{8}{3} \end{array}

Eksempel 3

Løs likningen

\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} = \frac{9}{x^{2} - 3 x}

Faktoriser de nevnerne som kan faktoriseres for å finne de $x$ -verdiene der uttrykket ikke er definert.

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

Nå ser du at de eneste faktorene i de tre nevnerne er $x$ og $x - 3$ . Slik at

- 3 = 0 \Rightarrow x = 3 og x = 0

er $x$ -verdiene der uttrykket ikke er definert. Fellesnevneren finner du så ved å multiplisere de ulike faktorene, dermed er fellesnevneren

x (x - 3)

Du kan nå løse likningen.

\begin{array}{l} \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x^{2} - 3 x}, x \neq 0, 3 \\ \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x (x - 3)} | \cdot x (x - 3) \\ x \cdot x - 2 \cdot (x - 3) & = 9 \\ x^{2} - 2 x + 6 - 9 & = 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 & = 0 \end{array}

Her bruker du $a b c$ -formelen til å faktorisere venstresiden:

(x - 3) (x + 1) = 0

Det gir løsningene

x_{1} = 3 og x_{2} = - 1

Siden du ser at $x = 3$ var en av de verdiene du ikke kunne tillate som $x$ , blir svaret $x = - 1$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hvordan løse likninger med tall i nevner

Tilbake