House of Math-logo

Deriverbarhet

Sammen med kontinuitet kan du også snakke om hvorvidt en funksjon er deriverbar. En funksjon er deriverbar når den både er kontinuerlig i punktet og ikke har en «knekk». En knekk oppstår dersom stigningstallet plutselig forandrer seg. Dette ser du lett på bildet under.

Funksjoner med «knekk» oppstår når du har funksjoner som har delt forskrift. Det vil si at du har et funksjonsuttrykk på et intervall og et annet funksjonsuttrykk på et annet intervall. På figuren under ser du at f(x) = x2 + 2 når x 1 (blå graf) og at f(x) = 2x + 5 når x > 1 (grønn graf). Matematisk skrives dette

f(x) = { x2 + 2 når x ≤ 1, 2x + 5 når x > 1.

Funksjonen f(x) har en markant knekk for x=1

Selv om grafen, i dette tilfellet, er kontinuerlig i x = 1, er den altså ikke deriverbar i x = 1. Knekken oppstår når du kan tegne mange tangenter til grafen i et punkt. I punkter hvor du kan tegne mange tangenter er ikke den deriverte bestemt og du kan si at den ikke er deriverbar.

For å forklare deriverbarhet på en skikkelig måte må du vite hva det vil si at grenser kommer ovenfra og nedenfra.

Teori

Grenser ovenfra og nedenfra

  • En grense f(a) kommer ovenfra når du følger x-verdiene fra x-verdier større enn x = a og beveger deg mot a. Du skriver det

    lim xa+f(x) = f(a).
  • En grense f(a) kommer nedenfra når du følger x-verdiene fra x-verdier mindre enn x = a og beveger deg mot a. Du skriver det

    lim xaf(x) = f(a).

Du kan nå få definisjonen av deriverbarhet.

Teori

Deriverbarhet

Du sier at en funksjon er deriverbar i et punkt x = a hvis f(x) er kontinuerlig i x = a og

lim xaf(x) = lim xa+f(x).

NB! Når du skal sjekke deriverbarhet i en delt forskrift bruker du det funksjonsuttrykket som er definert for verdier mindre enn a i lim xaf(x) og det funksjonsuttrykket som er definert for verdier større en a i lim xa+f(x).

Eksempel 1

Avgjør om

f(x) = { x2 + 2 når x ≤ 1, 2x + 5 når x > 1.

fra bildet over er deriverbar

For å svare på dette må du først sjekke om f(x) er kontinuerlig. Altså, er lim xaf(x) = f(a) for alle a ? For a 1 er

lim xaf(x) = lim xax2 + 2 = a2 + 2 = f(a),

og for a > 1 er

lim xaf(x) = lim xa 2x + 5 = 2a + 5 = f(a).

Grenseverdien eksisterer og du kan konkludere med at f(x) er kontinuerlig.

Nå må du sjekke om

lim xaf(x) = lim xa+f(x)

for alle x . Du begynner med å finne f(x):

f(x) = { 2x når x ≤ 1, 2 når x > 1.

Du sjekker om f er deriverbar i punktet x = 1. Grensen nedenfra først:

lim x1f(x) = lim x12x = 2 1 = 2.

Så grensen ovenfra:

lim x1+f(x) = lim x1+ 2 = 2.

Siden

lim x1f(x) = 2 2 = lim x1+f(x),

så vet du at f(x) ikke er deriverbar.

Eksempel 2

Finn hvor funksjonen

f(x) = 2x2 3 x2 4

er kontinuerlig og deriverbar

Siden dette er en rasjonal funksjon, så vet du at den er diskontinuerlig der den har vertikale asymptoter. Dette skjer når nevneren blir 0. Du løser for dette: x2 4 = 0 x2 = 4 x = ±4 = ±2

Funksjonen f(x) er altså kontinuerlig for alle verdier av x unntatt for x = 2 og x = 2. Du skriver dette matematisk som at x {2, 2} (x element i uten x = 2 og x = 2).

Siden en funksjon må være kontinuerlig i et punkt for å være deriverbar der, kan du også konkludere med at funksjonen ikke er deriverbar i punktene x = 2 og x = 2. Spørsmålet er da om det finnes andre punkter der f(x) ikke er deriverbar. Du sjekker ved å regne ut

lim xaf(x) = lim xa+f(x).

Først finner du er uttrykk for den deriverte: f(x) = 4x (x2 4) (2x2 3) 2x (x2 4) 2 = 4x3 16x 4x3 + 6x (x2 4) 2 = 10x (x2 4) 2 f(a) = 10a (a2 4) 2

Du vet at f(a) er definert for alle a foruten der nevneren i f(a) ikke er definert. Dette skjer der nevneren er 0. Du setter derfor nevneren lik 0 og løser for a: (a2 4) 2 = 0 a2 4 = 0 a2 = 4 a = ±4 = ±2

Altså er f deriverbar for alle x {2, 2} (x element i uten x = 2 og x = 2).

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Hvordan bruker man definisjonen av den deriverte?
Neste oppslagPil som peker til høyre
Derivasjonsregler