Approksimasjon av momentan vekstfart

Du skal kunne tilnærme momentan vekstfart ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart. Dette skal du gjøre ved å velge to $x$ -verdier som ligger svært nære hverandre, for deretter å se at stigningstallet til sekanten i gjennomsnittlig vekstfart er svært lik tangenten til momentan vekstfart.

En funksjon der man ser på to punkt som er veldig nærme hverandre

Approksimasjon utføres fordi det er vanskelig å plassere tangenten nøyaktig. Ofte kan den bli for slak eller for bratt, og da blir tallene feil. Når tangenten er for slak, får du en lavere verdi enn svaret, og når tangenten er for bratt får du en for høy verdi i forhold til svaret du leter etter.

Det finnes en annen måte å regne ut den momentane veksten enn å jobbe med tangenten. Ved å bruke formelen for gjennomsnittlig vekstfart og velge $x_{2}$ veldig nærme punktet der du skal finne veksten, $x_{1}$ , vil du få en tilnærmet verdi for den momentan vekstfarten. Her er et eksempel.

Eksempel 1

Se på $f (x) = 0, 5 x^{2} - 0, 5 x + 2$ . Du ønsker å finne den momentane veksten når $x = 4$ ved å bruke approksimasjon.

Du bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart:

\begin{array}{l} gjennomsnittlig vekstfart & = \frac{endring i y}{endring i x} \\ = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}, \end{array}

der $x_{1} = 4$ . Du velger nå en $x_{2} = 4, 01$ (eller en annen verdi som er veldig nærme $x_{1}$ ). Du må derfor finne $y_{1} = f (x_{1})$ og $y_{2} = f (x_{2})$ , og de er

\begin{array}{l} y_{1} & = f (4) \\ = 0, 5 {(4)}^{2} - 0, 5 (4) + 2 \\ = 8 \\ y_{2} & = f (4, 01) \\ = 0, 5 {(4, 01)}^{2} - 0, 5 (4, 01) + 2 \\ = 8, 035 05 \end{array}

Du setter inn i formelen og får:

\begin{array}{l} approksimasjon & = \frac{endring i y}{endring i x} \\ = \frac{8 - 8, 035 05}{4, 01 - 4} \\ = 3, 505 \end{array}

Den nøyaktige momentane vekstfarten er $3, 5$ , slik at approksimasjonen faktisk er en god tilnærming. Du kan få en enda bedre tilnærming dersom du velger $x_{2}$ enda nærmere $x_{1}$ . For eksempel om du velger $x_{2} = 4, 0001$ . Da blir det som dette:

\begin{array}{l} y_{2} & = f (4, 0001) \\ = 0, 5 {(4, 0001)}^{2} - 0, 5 (4, 0001) + 2 \\ = 8, 000 350 005 \end{array}

Du setter inn i formelen og får:

\begin{array}{l} approksimasjon & = \frac{endring i y}{endring i x} \\ = \frac{8 - 8, 000 350 005}{4, 0001 - 4} \\ = 3, 500 05 \end{array}

Som du ser blir approksimasjonen bedre jo nærmere $x$ -verdiene ligger hverandre. Den eksakte verdien for momentant vekst for $x = 4$ er $3, 5$ , så denne metoden fungerer fint om du bruker to $x$ -verdier som ligger veldig nærme hverandre.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Momentan vekstfart

Tilbake