House of Math-logo

Approksimasjon av momentan vekstfart

Du skal kunne tilnærme momentan vekstfart ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart. Dette skal du gjøre ved å velge to x-verdier som ligger svært nære hverandre, for deretter å se at stigningstallet til sekanten i gjennomsnittlig vekstfart er svært lik tangenten til momentan vekstfart.

En funksjon der man ser på to punkt som er veldig nærme hverandre

Approksimasjon utføres fordi det er vanskelig å plassere tangenten nøyaktig. Ofte kan den bli for slak eller for bratt, og da blir tallene feil. Når tangenten er for slak, får du en lavere verdi enn svaret, og når tangenten er for bratt får du en for høy verdi i forhold til svaret du leter etter.

Det finnes en annen måte å regne ut den momentane veksten enn å jobbe med tangenten. Ved å bruke formelen for gjennomsnittlig vekstfart og velge x2 veldig nærme punktet der du skal finne veksten, x1, vil du få en tilnærmet verdi for den momentan vekstfarten. Her er et eksempel.

Eksempel 1

Se f(x) = 0,5x2 0,5x + 2. Du ønsker å finne den momentane veksten når x = 4 ved å bruke approksimasjon.

Du bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart: gjennomsnittlig vekstfart = endring i y endring i x = y2 y1 x2 x1 = f(x2) f(x1) x2 x1 ,

der x1 = 4. Du velger nå en x2 = 4,01 (eller en annen verdi som er veldig nærme x1). Du må derfor finne y1 = f(x1) og y2 = f(x2), og de er y1 = f(4) = 0,5(4)2 0,5(4) + 2 = 8 y2 = f(4,01) = 0,5(4,01)2 0,5(4,01) + 2 = 8,03505

Du setter inn i formelen og får: approksimasjon = endring i y endring i x = 8 8,03505 4,01 4 = 3,505

Den nøyaktige momentane vekstfarten er 3,5, slik at approksimasjonen faktisk er en god tilnærming. Du kan få en enda bedre tilnærming dersom du velger x2 enda nærmere x1. For eksempel om du velger x2 = 4,0001. Da blir det som dette: y2 = f(4,0001) = 0,5(4,0001)2 0,5(4,0001) + 2 = 8,000350005

Du setter inn i formelen og får: approksimasjon = endring i y endring i x = 8 8,000350005 4,0001 4 = 3,50005

Som du ser blir approksimasjonen bedre jo nærmere x-verdiene ligger hverandre. Den eksakte verdien for momentant vekst for x = 4 er 3,5, så denne metoden fungerer fint om du bruker to x-verdier som ligger veldig nærme hverandre.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Momentan vekstfart