Momentan vekstfart

Momentan vekstfart er vekstfarten i et bestemt punkt $P$ . Du finner denne vekstfarten ved å regne ut stigningstallet til tangenten i punktet $P$ . En tangent er en rett linje som berører grafen i akkurat det punktet.

Teori

Momentan vekstfart

Momentan vekstfart i et punkt $(x_{1}, f (x_{1}))$ på grafen til funksjonen $f (x)$ , er hvor mye grafen endrer seg i akkurat dette punktet. La tangentlinjen til $f (x)$ når $x = x_{1}$ være gitt ved

y = a x + b .

Da er momentan vekstfart i dette punktet lik stigningstallet til tangentlinjen. Altså,

Momentan vekstfart = a .

For en funksjon $f (x)$ og et punkt $P$ på grafen og tangentlinjen, kan du velge to punkter $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ på tangenten i $P$ . Da er

\begin{array}{l} momentan vekstfart & = \frac{endring i y}{endring i x} \\ = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \end{array}

Hvis $(x_{1}, y_{1}) = P$ er

\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y_{2} - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} .

Du kan tenke på forskjellen mellom gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart som at gjennomsnittlig vekstfart måler farten din over en tidsperiode, for eksempel at en bil blir målt hvor lang tid den bruker på $10 km$ . Momentan vekstfart er derimot sammenlignbart med hva speedometeret til bilen viser akkurat i øyeblikket. Momentan og øyeblikkelig er synonymer, så momentan vekstfart betyr farten man har i øyeblikket.

Eksempel 1

Om du har likningen for tangentlinjen i det punktet du ønsker å finne momentan vekstfart, så er det bare å se på stigningstallet for linjen. Men om du bare har to punkter på tangentlinjen, så vil denne metoden hjelpe deg med å finne stigningstallet. Du vil se at vi faktisk regner ut gjennomsnittlig vekstfart for å finne stigningstallet.

På figuren ser du funksjonen $f (x)$ (blå graf).

Grafen til f(x) med tangentlinjen gjennom (x1, f(x1))

Du tegner tangenten (rød linje) i punktet $x = x_{1}$ (der $x = x_{1}$ betyr at du kaller tallverdien du valgte som $x$ -koordinat for $x_{1}$ , altså $x_{1}$ er et tall). Merk at ett av de to punktene på tangentlinjen som du bruker for å regne ut stignigstallet kan være punktet på grafen.

Du velger nå et punkt du liker på tangenten (rød linje) og kaller det for $(x_{2}, y_{2})$ . Nå regner du ut stigningstallet til tangenten for å finne den momentane vekstfarten.

Du kan bruke uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart til å finne en tilnærmet verdi for momentan vekstfart i $x_{1}$ . Da velger du $x_{2}$ veldig nær den $x$ -verdien du har fått oppgitt i oppgaven og setter disse inn i formelen for gjennomsnittlig vekstfart.

Eksempel 2

Mark Zuckerberg har startet et firma og har funnet denne funksjonen for inntektene i firmaet (gitt i millioner dollar):

f (x) = 0, 5 x^{2} - 0, 5 x + 2,

der $x$ er antall uker. Finn den momentane vekstfarten etter 4 uker.

For å kunne regne ut dette må du tegne grafen $f (x)$ i et koordinatsystem og deretter tegne tangenten til $x = 4$ . For å tegne grafen trenger du en funksjonstabell. Tegn denne og regn ut verdiene.


$x$	$y = f (x)$	$(x, y)$

$0$	$f (0) = 2$	$(0, 2)$

$1$	$f (1) = 2$	$(1, 2)$

$2$	$f (2) = 3$	$(2, 3)$

$3$	$f (3) = 5$	$(3, 5)$

$4$	$f (4) = 8$	$(4, 8)$

$5$	$f (5) = 12$	$(5, 12)$

$6$	$f (6) = 17$	$(6, 17)$

$7$	$f (7) = 23$	$(7, 23)$


$x$	$y = f (x) = 0, 5 x^{2} - 0, 5 x + 2$	$(x, y)$

$0$	$f (0) = 0, 5 \cdot {(0)}^{2} - 0, 5 \cdot (0) + 2 = 2$	$(0, 2)$

$1$	$f (1) = 0, 5 \cdot {(1)}^{2} - 0, 5 \cdot (1) + 2 = 2$	$(1, 2)$

$2$	$f (2) = 0, 5 \cdot {(2)}^{2} - 0, 5 \cdot (2) + 2 = 3$	$(2, 3)$

$3$	$f (3) = 0, 5 \cdot {(3)}^{2} - 0, 5 \cdot (3) + 2 = 5$	$(3, 5)$

$4$	$f (4) = 0, 5 \cdot {(4)}^{2} - 0, 5 \cdot (4) + 2 = 8$	$(4, 8)$

$5$	$f (5) = 0, 5 \cdot {(5)}^{2} - 0, 5 \cdot (5) + 2 = 12$	$(5, 12)$

$6$	$f (6) = 0, 5 \cdot {(6)}^{2} - 0, 5 \cdot (6) + 2 = 17$	$(6, 17)$

$7$	$f (7) = 0, 5 \cdot {(7)}^{2} - 0, 5 \cdot (7) + 2 = 23$	$(7, 23)$

Du får da denne grafen (blå graf):

Grafen til f(x) og tangentlinjen gjennom (4, f(4))

Tegn tangenten slik at den kun treffer punktet $(4, f (4))$ . For å finne den momentane vekstfarten i $x = 4$ må du finne to punkter på tangentlinjen og sette inn i formelen. Du ser at punktene $(x_{1}, y_{1}) = (2, 1)$ og $(x_{2}, y_{2}) = (4, 8)$ ligger på tangentlinjen.

Da får du at

\begin{array}{l} momentan vekstfart & = \frac{8 - 1}{4 - 2} \\ = \frac{7}{2} \\ = 3, 5 . \end{array}

\begin{array}{l} momentan vekstfart = \frac{8 - 1}{4 - 2} = \frac{7}{2} = 3, 5 . \end{array}

Du må nå gange dette med $

1 000 000

for å få riktig svar siden inntekten er i millioner dollar:

3, 5 \cdot $ 1 000 000 = $ 3 500 000 .

Den momentane vekstfarten til inntekten i firmaet etter fire uker er $ $3 500 000$ per uke.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er ettpunktsformelen?

Neste oppslag

Approksimasjon av momentan vekstfart

Tilbake