Homogene andreordens differensiallikninger med konstante koeffisienter

En homogen likning er en likning hvor du har 0 på den ene siden av likhetstegnet. En lineær, homogen differensiallikning av andre orden med konstante koeffisienter kan skrives på formen

y^{″} + b y^{'} + c y = 0 .

Ved å gjette at $y = e^{r x}$ får du den karakteristiske likningen

r^{2} + b r + c = 0 .

To reelle løsninger

Når den karakteristiske likningen har to løsninger ( $r_{1}$ eller $r_{2}$ ) kan den generelle løsningen skrives som:

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

Eksempel 1

Løs differensiallikingen $y^{″} + y^{'} - y = 0$

Den karakteristiske likningen er

\begin{array}{l} r^{2} + r - 1 & = 0, \\ (r + 2) (r - 1) & = 0 . \end{array}

Det gir løsningene $r_{1} = 1$ og $r_{2} = - 2$ . Sett inn i formelen for den generelle løsningen og få

y (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x} .

Én reell løsning

Når den karakteristiske likningen har én løsning $r_{1} = r_{2}$ kan den generelle løsningen skrives som

y = C_{1} e^{r x} + C_{2} x e^{r x}

Eksempel 2

Løs differensiallikingen $y^{″} + 2 y^{'} + y = 0$

Den karakteristiske likningen er

\begin{array}{l} r^{2} + 2 r + 1 & = 0, \\ (r + 1) (r + 1) & = 0 . \end{array}

Det gir løsningen $r = r_{1} = r_{2} = 1$ . Sett $r$ inn i formelen for den generelle løsningen og få

y (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} .

To komplekse løsninger

Når $r_{1}$ og $r_{2}$ er komplekse tall skrives den generelle løsningen som

y = e^{A x} (C_{1} \sin B x + C_{2} \cos B x)

hvor $r_{1} = A + B i$ og $r_{2} = A - B i$ , der $i = \sqrt{- 1}$ .

Eksempel 3

Løs differensiallikingen $y^{″} - 2 y^{'} + y = 0$

Du setter opp den karakteristiske likningen. Den blir

r^{2} - 2 r + 5 = 0 .

Det gir

\begin{array}{l} r & = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} \\ = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2} \\ = \frac{2 \pm 4 i}{2} \\ = 1 \pm 2 i \end{array}

Dette gir $A = 1$ og $B = 2$ . Sett inn i formelen for den generelle løsningen og få

y (x) = e^{x} (C_{1} \sin (2 x) + C_{2} \cos (2 x)) .

Det kan være svært lurt å kunne disse løsningsformlene utenat!

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Eksakte andreordens differensiallikninger

Neste oppslag

Initialbetingelser (Andreordens differensiallikninger)

Tilbake