Eksakte andreordens differensiallikninger

Eksakte andreordens differensiallikninger løser du på samme måte som eksakte førsteordens differensiallikninger. Du integrerer høyre og venstre side hver for seg. Den eneste forskjellen er at du må gjøre det to ganger med andreordens differensiallikninger siden den innehar den andrederiverte.

\begin{array}{l} y^{″} & = f (x) \\ ⇓ \\ y^{'} & = \int f (x) d x \\ = F_{0} (x) + C_{1} \\ ⇓ \\ y & = \int y^{'} d x \\ = \int (F_{0} (x) + C_{1}) d x \\ = F (x) + C_{1} x + C_{2} \end{array}

\begin{array}{l} y^{″} & = f (x) \\ ⇓ \\ y^{'} & = \int f (x) d x = F_{0} (x) + C_{1} \\ ⇓ \\ y & = \int y^{'} d x = \int (F_{0} (x) + C_{1}) d x = F (x) + C_{1} x + C_{2} \end{array}

Eksempel 1

Løs differensialligningen $y^{″} = 20 x^{3} + e^{2 x}$

\begin{array}{l} y^{'} & = \int y^{″} d x \\ = \int 20 x^{3} + e^{2 x} d x \\ = 5 x^{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{1} \\ y & = \int y^{'} d x \\ = \int 5 x^{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{1} d x \\ = x^{5} + \frac{1}{4} e^{2 x} + C_{1} x + C_{2} \end{array}

\begin{array}{l} y^{'} & = \int y^{″} d x = \int 20 x^{3} + e^{2 x} d x = 5 x^{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{1} \\ y & = \int y^{'} d x = \int 5 x^{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{1} d x = x^{5} + \frac{1}{4} e^{2 x} + C_{1} x + C_{2} \end{array}

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Andreordens differensiallikninger

Neste oppslag

Homogene andreordens differensiallikninger med konstante koeffisienter

Tilbake