Praktisk bruk Newtons andre lov (Frie svingninger med og uten demping)

Du begynner med å løse differensiallikningen. Først setter du opp den karakteristiske likningen, som er

$$r^2+Fr+1=0.$$

Du løser den, og får

$$r=\frac{-F\pm \sqrt{F^2-4}}{2}.$$

For å vite hvilken løsningsformel du skal bruke må du se om den karakteristiske likningen har to, én eller ingen reelle løsinger. Dette gjør du ved å sjekke om $F^2-4$ er positiv, negativ eller null.

$F^2-4$ er negativ

I dette tilfellet har den karakteristiske likningen ingen løsninger, siden det som står under kvadratrota er negativt. For at $F^2-4<0$ må $F<2$. I dette tilfellet kan du dermed få to typer svingninger. Om $F=0$ er det ingen friksjon. Dette heter udempet svingning. Om $F$ er positiv (men mindre enn 2) får du underkritisk dempet svingning.

$F=0$ – Udempet svingning:

Når friksjonstallet $F$ er null er det ingen friksjon, så loddet vil ikke bremses ned overhodet. Fjæren vil altså trekke seg sammen, så utvides, så trekke seg sammen, akkurat like langt hver gang. Den vil aldri stoppe. I dette tilfellet blir løsningen av differensiallikningen

$$y(x)=2\cos (x).$$

$0<F<2$ – Underkritisk dempet svingning:

I dette tilfellet er det litt friksjon, så loddet vil svinge, men med svakere og svakere utslag. Fjæren vil altså først trekke seg sammen, så utvides, så trekke seg sammen, men kortere og kortere for hver gang. For $F=0,44$ blir løsningen av differensiallikningen

$$\begin{array}{llll}\hfill y(x)& =2,05e^{-0,22x}& \hfill & \\ \hfill & \cdot \sin (x+1,35),& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{lll}\hfill y(x)=2,05e^{-0,22x}\sin (x+1,35),& & \hfill \end{array}$$

$F^2-4$ er null – Kritisk dempet svingning

I dette tilfellet er det akkurat nok friksjon til at loddet bremses ned så sakte at fjæren kommer tilbake mot utgangsposisjonen, men aldri strekkes ut igjen. Dette ser du på den karakteristiske likningen, fordi den ved kritisk dempet svingning har én dobbelløsning. I dette tilfellet er $r=-1$. Løsningen på differensiallikningen blir

$$y(x)=2e^{-x}+2x{e}^{-x}.$$

$F^2-4$ er positiv – Overkritisk dempet svingning

I dette tilfellet er det «mer friksjon enn nødvendig» for å hindre at fjæren strekkes ut igjen. Dette ser du på den karakteristiske likningen, som har to ulike reelle løsninger. For $F=4$ blir løsningen av differensiallikningen

NB! Kritisk og overkritisk demping ligner veldig på hverandre, men forskjellen er at ved overkritisk demping bruker loddet lengre tid enn det må på å gå mot utgangsposisjonen. For å skille disse to tilfellene sjekker du om den karakteristiske likningen har én eller to løsninger.

Her får du en oversikt over alle typene svingninger samtidig. Ta deg tid til å studere forskjellene mellom dem.

NB! Husk at du i dette eksempelet kun så på et lodd med masse $1$ kg, og en fjær med fjærkonstant $1$ N/m. I det generelle tilfellet der loddet har masse $m$, friksjonstallet er $F$ og fjæren har fjærkonstant $k$ blir utregningene litt annerledes, men du får samme type inndeling i svingningstyper.

Differensiallikningen blir

$$x^{″}+\frac{F}{m}{x}^{\prime }+\frac{k}{m}x=0$$

og typene svingning du kan få er oppsummert under:

$F=0$:

Udempet svingning

$F^2-4mk$ er negativ:

Underkritisk dempet svingning

$F^2-4mk$ er null:

Kritisk dempet svingning

$F^2-4mk$ er positiv:

Overkritisk dempet svingning

Oppgave 1

Du setter opp den karakteristiske likningen. Den blir

$$4r^2+4r+5=0.$$

Du løser denne med $abc$-formelen og får

$$\begin{array}{llll}\hfill r& =\frac{-4\pm \sqrt{16-80}}{8}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{-4\pm \sqrt{-64}}{8}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{-4\pm 8i}{8}& \hfill & \\ \hfill & =-0,5\pm i& \hfill & \end{array}$$

Du ser at likningen har to løsninger, men siden det er en $i$ med i løsningene er disse komplekse, og ikke reelle.

For å bruke disse til å finne et generelt uttrykk for $y$ bruker du

$$y=e^{Ax}(C_1\sin Bx+C_2\cos Bx)$$

med $A=-0,5$ og $B=1$. Den generelle løsningen er da

$$y(x)=e^{-0,5x}(C_1\sin (x)+C_2\cos (x)).$$

Oppgave 2

Integrasjonskonstantene er $C_1$ og $C_2$. For å bestemme dem må du løse likningssettet du får fra initialbetingelsene $y(0)=3$ og $y\left(\frac{3\pi }{4}\right)=0$. Dette blir et likningssett der $C_1$ og $C_2$ er de to ukjente. For å få likningene setter du $x=0$ og $x=\frac{3\pi }{4}$. Du setter først $x=0$ og får:

$$\begin{array}{llll}\hfill 3& =y(0)& \hfill & \\ \hfill & =e^{-0,5\cdot 0}(C_1\sin (0)+C_2\cos (0))& \hfill & \\ \hfill & =1\cdot (C_1\cdot 0+C_2\cdot 1)& \hfill & \\ \hfill & =C_2& \hfill & \end{array}$$

Den første likningen er altså $C_2=3$. Den neste likningen blir

$$\begin{array}{llll}\hfill 0& =y\left(\frac{3\pi }{4}\right)& \hfill & \\ \hfill & =e^{-0,5\cdot \frac{3\pi }{4}}\left(C_1\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)+C_2\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)\right)& \hfill & \\ \hfill & =e^{-0,5\cdot \frac{3\pi }{4}}\left(C_1\frac{\sqrt{2}}{2}+C_2\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)& \hfill & \end{array}$$

Altså blir den andre likningen

$$e^{-0,5\cdot \frac{3\pi }{4}}\left(C_1\frac{\sqrt{2}}{2}+C_2\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)=0$$

Denne likingen er litt kjip, så det er lurt å forenkle den litt før du løser likningssettet på vanlig måte. Du ser at du kan dele på $e^{-0,5\cdot \frac{3\pi }{4}}$ og på $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Når du gjør det blir likningen

$$C_1-C_2=0.$$

Dette betyr at likningssettet du får fra initialbetingelsene er

$$\begin{array}{llll}\hfill C_2& =3& \hfill & \\ \hfill C_1-C_2& =0& \hfill & \end{array}$$

Du løser dette på vanlig måte, og finner løsningen

$$C_1=C_2=3.$$

Du setter så inn disse verdiene i den generelle løsningen. Da får du at løsningen som oppfyller initialbetingelsene er

$$\begin{array}{llll}\hfill f(x)& =e^{-0,5x}(C_1\sin (x)+C_2\cos (x))& \hfill & \\ \hfill & =3e^{-0,5x}(\sin (x)+\cos (x))& \hfill & \end{array}$$

Oppgave 3

I denne oppgaven skal du plotte denne funksjonen for $x\in [0,3\pi ⟩$. Du gjør det, og får figuren under:

Oppgave 4

Du skal finne nullpuktene til $f$. Disse finner du ved å løse likningen $f(x)=0$. Dermed får du likningen

$$3e^{-0,5x}(\sin (x)+\cos (x))=0.$$

Du ser at $3e^{-0,5x}$ alltid er positiv. Derfor er den ikke null, så du får lov til å dele den bort. Når du gjør dette får du likningen

$$\sin (x)+\cos (x)=0.$$

Denne løser du som en vanlig trigonometrisk likning. Det letteste her er å dele på $\cos (x)$. Da får du at

$$\tan (x)+1=0\iff \tan (x)=-1.$$

Dette skjer kun når

$$x={\tan }^{-1}(-1)=-\frac{\pi }{4}+n\cdot \pi .$$

Du må nå finne $x$-verdiene mellom 0 og $[0,3\pi ⟩$. Du gjør dette, og får at

$$x\in \left\{\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4},\frac{11\pi }{4}\right\}.$$

Du har nå funnet nullpunktene til $f$. Så skal du finne topp- og bunnpunkter. For å gjøre det setter du $f^{\prime }(x)=0$. Først må du regne ut $f^{\prime }(x)$. Dette gjør du med produktregelen. Du får

Du må nå løse likningen $f^{\prime }(x)=0$. Du setter den opp, og får Som tidligere i oppgaven ser du at $3e^{-0,5x}$ alltid er positiv, så du får lov til å dele den bort. Når du gjør dette, i tillegg til å gange opp med 2, får du likningen Du løser denne ved å dele på $\cos (x)$, og står igjen med likningen

$$\tan (x)=\frac{1}{3}.$$

Dette skjer kun når

$$x={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\approx 0,32+n\cdot \pi .$$

Du må finne $x$-verduer mellom 0 og $3\pi$. Du gjør det, og får

$$x=\left\{0,32,3,46,6,60\right\}.$$

Du har nå funnet $x$-koordinatene til ekstremalpunktene til $f$. Av grafen kan du se at $x=3,46$ er et bunnpunkt, og at $x=0,32$ og $x=6,60$ er toppunkter. Du skal så finne $y$-koordinatene disse punktene. Dette gjør du ved å regne ut funksjonsverdiene. Du gjør dette, og får at bunnpunktet er $(3,46,-0,67)$, og at toppunktene er $(0,32,3,23)$ og $(0,32,0,14)$.