House of Math-logo

Hvordan finne logistisk vekst og bæreevne?

Bæreevnen B er maksimalbestanden for en gitt gruppe. Logistisk vekst har du når vekstfarten N er proporsjonal med selve bestanden N, og proporsjonal med avstanden mellom bestanden N og bæreevnen B. Du kan dermed skrive logistisk vekst som en separabel differensiallikning. Differensiallikningen blir dermed:

N = k N (B N)

Den generelle løsningen er gitt ved denne formelen:

N = B CeBkt + 1.

Dersom du får beskjed om å løse integralet vil denne formelen komme til nytte:

1 N (B N)dN = 1 B ln N B N + C,0 < N(0) < B.

Eksempel 1

I et forurenset drikkevann var antall bakterier til å begynne med 800. Den første timen økte antall bakterier med 320. Anta at antall bakterier følger en logistisk vekstmodell og at bæreevnen for antall bakterier i drikkevannet er 7500. La N være bakterieantallet etter t timer. Finn k, bestem vekstmodellen og finn hvor mange bakterier det var etter 5 og 13 timer.

Fra teksten ser du at N(0) = 800, N = 320, B = 7500. Du finner k ved å sette inn i formelen og løse for k: 320 = k 800 (7500 800) k = 0,00006

Du kan nå sette k rett inn i differensiallikningen og løse denne for å finne vekstmodellen:

N = 0,00006 N (7500 N)

Løs differensiallikningen ved å sette direkte inn i løsningsformelen:

N = 7500 Ce75000,00006t + 1 = 7500 Ce0,4478t + 1

For å finne vekstmodellen i dette tilfellet må du løse ut C. I teksten leser du at initialbetingelsen er N(0) = 800. Sett inn i uttrykket for N rett over og få 800 = 7500 Ce0,44780 + 1 = 7500 C + 1| (C + 1) 800 (C + 1) = 7500 800C + 800 = 7500 C = 7500 800 800 = 8,375

Dette gir vekstmodellen:

N(t) = 7500 8,375e0,4478t + 1

Du kan nå finne antall bakterier for t = 5 og t = 13: N(5) = 7500 8,375e0,44785 + 1 = 3963 N(13) = 7500 8,375e0,447813 + 1 = 7318

Antall bakterier etter 5 og 13 timer er henholdsvis 3963 og 7318.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Integrerende faktor