Hvordan finne logistisk vekst og bæreevne?

Bæreevnen $B$ er maksimalbestanden for en gitt gruppe. Logistisk vekst har du når vekstfarten $N^{'}$ er proporsjonal med selve bestanden $N$ , og proporsjonal med avstanden mellom bestanden $N$ og bæreevnen $B$ . Du kan dermed skrive logistisk vekst som en separabel differensiallikning. Differensiallikningen blir dermed:

N^{'} = k \cdot N \cdot (B - N)

Den generelle løsningen er gitt ved denne formelen:

N = \frac{B}{C e^{- B k t} + 1} .

Dersom du får beskjed om å løse integralet vil denne formelen komme til nytte:

\int \frac{1}{N \cdot (B - N)} d N = \frac{1}{B} \cdot \ln \frac{N}{B - N} + C, 0 < N (0) < B .

Eksempel 1

I et forurenset drikkevann var antall bakterier til å begynne med 800. Den første timen økte antall bakterier med 320. Anta at antall bakterier følger en logistisk vekstmodell og at bæreevnen for antall bakterier i drikkevannet er 7500. La $N$ være bakterieantallet etter $t$ timer. Finn $k$ , bestem vekstmodellen og finn hvor mange bakterier det var etter 5 og 13 timer.

Fra teksten ser du at $N (0) = 800$ , $N^{'} = 320$ , $B = 7500$ . Du finner $k$ ved å sette inn i formelen og løse for $k$ : $\begin{array}{l} 320 & = k \cdot 800 \cdot (7500 - 800) \\ k & = 0, 000 06 \end{array}$

Du kan nå sette $k$ rett inn i differensiallikningen og løse denne for å finne vekstmodellen:

N^{'} = 0, 000 06 \cdot N \cdot (7500 - N)

Løs differensiallikningen ved å sette direkte inn i løsningsformelen:

N = \frac{7500}{C e^{- 7500 \cdot 0, 000 06 t} + 1} = \frac{7500}{C e^{- 0, 4478 t} + 1}

For å finne vekstmodellen i dette tilfellet må du løse ut $C$ . I teksten leser du at initialbetingelsen er $N (0) = 800$ . Sett inn i uttrykket for $N$ rett over og få

\begin{array}{l} 800 = \frac{7500}{C e^{- 0, 4478 \cdot 0} + 1} & = \frac{7500}{C + 1} | \cdot (C + 1) \\ 800 \cdot (C + 1) & = 7500 \\ 800 C + 800 & = 7500 \\ C = \frac{7500 - 800}{800} & = 8, 375 \end{array}

Dette gir vekstmodellen:

N (t) = \frac{7500}{8, 375 e^{- 0, 4478 t} + 1}

Du kan nå finne antall bakterier for $t = 5$ og $t = 13$ : $\begin{array}{l} N (5) & = \frac{7500}{8, 375 e^{- 0, 4478 \cdot 5} + 1} = 3963 \\ N (13) & = \frac{7500}{8, 375 e^{- 0, 4478 \cdot 13} + 1} = 7318 \end{array}$

Antall bakterier etter 5 og 13 timer er henholdsvis 3963 og 7318.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Integrerende faktor

Tilbake