Skjæringspunkter

Siden $f(x)=y$ og $g(x)=y$ kan du sette disse lik hverandre:

$$\begin{array}{llll}\hfill -x-1& =2x+8& \hfill & \\ \hfill -3x& =9|:-3& \hfill & \\ \hfill x& =-3& \hfill & \end{array}$$

Sett $x$ inn i $f(x)=-x-1$ fordi det er det enkleste uttrykket av de to. Du kan også sette inn i $g(x)$.

$$f(-3)=-(-3)-1=2.$$

Skjæringspunktet mellom $f(x)$ og $g(x)$ er

$$(x,y)=(-3,2).$$

Siden $f(x)=y$ og $g(x)=y$ kan du sette disse lik hverandre:

$$\begin{array}{llll}\hfill x^2+3x-2& =2x+3& \hfill & \\ \hfill x^2+x-5& =0& \hfill & \end{array}$$

Løser andregradslikningen ved hjelp av $abc$-formelen:

$$\begin{array}{llll}\hfill x& =\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{-1\pm \sqrt{1+20}}{2}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{-1\pm \sqrt{21}}{2},& \hfill & \end{array}$$

så

$$\begin{array}{llll}\hfill x_1& =\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\approx -2,79,& \hfill & \\ \hfill x_2& =\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\approx 1,79.& \hfill & \end{array}$$

Sett $x_1$ og $x_2$ inn i $g(x)=2x+3$ fordi det er det enkleste uttrykket. Du kan også sette inn i $f(x)$.

$$\begin{array}{llll}\hfill y_1& =g(-2,79)=2\cdot (-2,79)+3=-2,58& \hfill & \\ \hfill y_2& =g(1,79)=2\cdot 1,79+3=6,58& \hfill & \end{array}$$

Skjæringspunktene mellom $f(x)$ og $g(x)$ er

$$\begin{array}{llll}\hfill (x_1,y_1)& =(-2,79,-2,58),& \hfill & \\ \hfill (x_2,y_2)& =(1,79,6,58).& \hfill & \end{array}$$

Skjæringspunktene mellom grafene finner du ved å sette de lik hverandre:

$$\begin{array}{llll}\hfill \sin x& =\cos x|:\cos x& \hfill & \\ \hfill \tan x& =1& \hfill & \\ \hfill x& ={\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}+n\pi & \hfill & \end{array}$$

Du må sjekke at du ikke mistet noen løsninger siden du delte på $\cos x$, som kan bli 0. Du sjekker dette ved å sjekke hva som skjer hvis $\cos x=0$. Da må $x=\frac{\pi }{2}$ som betyr $\sin x=1$, eller $x=\frac{3\pi }{2}$ som betyr $\sin x=-1$. I begge tilfeller er $\sin x$ forskjellig fra $\cos x$, så dette er ikke løsninger.

Det er altså uendelig mange skjæringspunkter, og punktene har $x$-verdier lik $x=\frac{\pi }{4}+n\pi$ for $n\in \mathbb{Z}$. $y$-verdiene finner du ved å sette inn i en av funksjonene, for eksempel i $f(x)=\sin x$. Her må du passe på at selv om $\tan x$ har periode på $\pi$ har du funnet to forskjellige vinkler på enhetssirkelen, med $\pi$ radianer mellom. Derfor gir dette to forskjellige verdier når du setter tilbake inn i $f(x)=\sin x$:

$$\begin{array}{llll}\hfill f\left(\frac{\pi }{4}\right)& =\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}& \hfill & \\ \hfill f\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)& =\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.& \hfill & \end{array}$$

Dette er to forskjellige $y$-verdier, $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ og $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, som hver tilhører sin vinkel på enhetssirkelen. Disse vinklene gjentar seg med periode på $2\pi$. Til sammen blir det altså to typer skjæringspunkter:

NB! Du er i denne oppgaven fornøyd med svaret selv om det inneholder $n$, fordi du ble bedt om å finne alle punktene, altså den generelle løsningen, ikke punktene innenfor et intervall.