Lineære funksjoner

Lineære funksjoner beskriver rette linjer. De rette linjene kan være slake eller bratte, samt at de kan stige eller avta, eller være horisontale. Det siste tilfellet skjer når $a = 0$ .

Formel

Formelen for en lineær funksjon

f (x) = a x + b,

der $a$ er stigningstallet til linjen og $b$ kalles konstantleddet, og er $y$ -koordinaten der grafen skjærer $y$ -aksen. Stigningstallet $a$ forteller hvor mye grafen stiger eller synker når $x$ -verdien øker med 1.

Grafen til en lineær funksjon med positivt stigningstall a og negativt konstantledd b.

Eksempel 1

Funksjonsuttrykket

f (x) = - 0, 5 x + 2

forteller at grafen skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 2)$ og at stigningstallet $a = - 0, 5$ . Det vil si at når $x$ øker med 1, så avtar $y$ med $0, 5$ . Grafen er dermed avtagende og ser ut som dette:

Grafen til f(x) = -0,5x + 2

Regel

Viktige egenskaper ved den lineære funksjonen

Stigningstallet $a$ forteller hvor mye grafen stiger/avtar når $x$ øker med 1.
Dersom $a > 0$ , stiger grafen mot høyre og dersom $a < 0$ , avtar grafen mot høyre.
Grafen skjærer $y$ -aksen i punktet $b$ .
Grafen er en rett linje med koordinatene $(x, y) = (x, f (x)) .$

Eksempel 2

Som barn hadde Chelsea Clinton barnevakt. Far Bill var litt gnien og bestemte seg for å betale barnevakten $75 kr$ per time og $50 kr$ i reisevei for at hun kom hjem til dem. Lag et uttrykk som viser hvor mye Bill måtte betale når han engasjerte barnevakt i $x$ timer.

Du vet at Bill uansett må ut med $50$ kr hver gang barnevakten kommer for å passe Chelsea. Du vet også at han betaler $75$ kr per time barnevakten jobber. Barnevakten får dermed $75$ kr for én time, $75 \cdot 2 kr = 150 kr$ for to timer, og så videre. Bill betaler dermed $75 x$ kroner når barnevakten jobber $x$ timer. Uttrykket for hvor mye Bill betaler barnevakten blir da som følger:

y = 75 x + 50

Hvor mye måtte Bill betale for en ettermiddag hvor han og Hillary skulle i et møte i Det hvite hus og trengte barnevakt i 3 timer?

Her er $x = 3$ , så du vil få følgende regnestykke

y = 75 \cdot (3) + 50 = 275 kr

De betaler dermed $275$ kr.

Barnevakten skulle på en konsert med U2 noen timer etter at hun hadde sittet barnevakt. Billetten kostet $350 kr$ . Hun hadde glemt lommeboken hjemme, og håpet at hun tjente nok i løpet av kvelden til å dekke billetten. Hvor mye forsinket måtte Bill og Hillary være for at barnevakten skulle få råd til å gå på konsert?

Her vet du at barnevakten må tjene minst $350$ kr for å få råd til billetten, altså $y = 350$ . Det du skal finne er hvor lenge hun må sitte barnevakt, altså en verdi for $x$ . Du setter inn verdien for $y$ og løser likningen for $x$ : $\begin{array}{l} 350 & = 75 x + 50 \\ 350 - 50 & = 75 x \\ 300 & = 75 x | : 75 \\ x & = 4 \end{array}$

For å få råd til konserten måtte hun sitte barnevakt i fire timer. Hun håpet derfor at Bill og Hillary var $4 - 3 = 1$ time forsinket. Dersom de ikke var det måtte hun låne penger av en venn eller spørre Bill om å få en lønnsøkning.

Du trenger to punkter for å finne funksjonsuttrykket til en linje. Under ser du to formler for å finne stigningstallet $a$ og konstantleddet $b$ hvis du kjenner to punkter som er på grafen. Symbolet $Δ$ (delta) er en gresk bokstav og i matematikken bruker du den til å beskrive endring eller forskjell. Formelen under leser du derfor: « $a$ er lik endringen i $y$ delt på endringen i $x$ ».

Formel

Hvordan finne funksjonsuttrykket fra to punkter

Linjen gjennom punktene $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ har stigningstall

a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}},

der $y_{1} = f (x_{1})$ og $y_{2} = f (x_{2})$ . NB! Studer tegningen nøye!

En linje som går gjennom punktene (x1, y1) og (x2, y2).

For å finne konstantleddet

b

til funksjonsuttrykket, bruker du følgende formel

b = y_{1} - a x_{1} .

Det er viktig at du har klart for deg hvilket punkt som er $(x_{1}, y_{1})$ , og hvilket punkt som er $(x_{2}, y_{2})$ . Punktet $(x_{1}, y_{1})$ ligger nemlig lengst til venstre på tallinjen. Det vil si at $x_{1}$ er et lavere tall enn $x_{2}$ .

Eksempel 3

Finn stigningstallet til linjen som går gjennom punktene $(5, 2)$ og $(3, 6)$ , og skjæringen med $y$ -aksen.

Her er det viktig at du først finner ut hvilket punkt som ligger lengst til venstre på grafen. Punktet med lavest $x$ -verdi ligger lengst til venstre. I dette tilfellet er det punktet $(3, 6)$ . Du vet dermed at $(x_{1}, y_{1}) = (3, 6)$ og at $(x_{2}, y_{2}) = (5, 2)$ :

a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2 - 6}{5 - 3} = \frac{- 4}{2} = - 2

Du vet nå at linjen din avtar med $2$ når du går én plass mot høyre. La oss se hva skjæringen med $y$ -aksen blir:

\begin{array}{l} b & = y_{1} - a x_{1} \\ = 6 - (- 2) \cdot 3 \\ = 6 + 6 \\ = 12 \end{array}

Skjæringspunktet med $y$ -aksen blir dermed $(0, 12)$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Tekst til lineær funksjon

Tilbake