Proporsjonale funksjoner

Ofte møter du på to størrelser som er slik at en dobling av den ene tingen fører til en dobling av den andre. For eksempel når du baker og trenger $1$ kg hvetemel for å lage 24 boller, så er det lett å finne ut hvor mye hvetemel du trenger for å lage dobbelt så mange boller, nemlig $2$ kg hvetemel for å lage 48 boller. En dobling av den ene fører til en dobling av den andre!

Det matematiske ordet på slike sammenhenger, er proposjonalitet. Hvis to størrelser $x$ og $y$ er slik at alle verdier for $y$ delt på alle verdier for $x$ er en bestemt konstant $k$ , så er $x$ og $y$ proposjonale størrelser. Denne konstanten $k$ kaller vi for proposjonalitetskontanten. Dette pleier vi å skrive som i boksen nedenfor. $y$ er altså $k$ ganget med $x$ . De to forklaringene her er helt like. Se her:

Eksempel 1

Formelregning viser at uttrykkene er like:

\begin{array}{l} \frac{y}{x} & = k \\ x \cdot \frac{y}{x} & = k \cdot x \\ y & = k x \end{array}

Regel

To størrelser $x$ og $y$ er proporsjonale hvis

y = k x,

der $k$ er en konstant.

I Eksempel 2 nedenfor ser du tilfellet der $k = 1$ . Her er noen huskeregler for hva som skjer for forskjellige verdier av $k$ :

Dersom verdien til $k$ er større enn $1$ , vil linjen bli brattere.
Dersom verdien til $k$ er mindre enn $1$ , vil linjen bli slakere.
Dersom $k$ er et negativt tall, vil grafen peke ned under $x$ -aksen.

En proposjonal funksjon er et spesialtilfelle av den lineære funksjonen $y = a x + b$ . Setter du nemlig $a = k$ og $b = 0$ , får du formelen for proporsjonalitet. Grafen blir derfor en rett linje gjennom origo. Forholdet mellom $y$ og $x$ er alltid lik stigningstallet $k$ .

Eksempel 2

Denne grafen viser

y = x

, altså at

k = 1

. Siden funksjonen er proporsjonal, betyr det at alle koordinatene på grafen er slik at dersom du tar

y

-koordinaten og deler på

x

-koordinaten, er svaret

k = 1

Eksempel 3

Er funksjonen $y = \frac{2 x}{3}$ proporsjonal?

Dette kan du finne ut ved noen få omgjøringer:

\begin{array}{l} y & = \frac{2 x}{3} \\ = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot 1} \\ = \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{1} \approx 0, 67 \cdot x \\ = 0, 67 x \end{array}

Du har nå funnet at $k \approx 0, 67$ eller $k = \frac{2}{3}$ , slik at funksjonen er proporsjonal.

Eksempel 4

Du har fått oppgitt følgende punkter:

Følger punktene en proporsjonal funksjon?

Fra teorien vet du at dersom du deler $y$ -verdien på $x$ -verdien slik at svaret blir likt for alle punktene, ligger punktene på en proporsjonal funksjon:

\begin{array}{l} \frac{7}{1} & = 7 & \frac{14}{2} & = 7 \\ \frac{21}{3} & = 7 & \frac{28}{4} & = 7 \\ \frac{35}{5} & = 7 \end{array}

Siden alle svarene er like, har du proporsjonalitet.

NB! Funksjoner på formen $y = \frac{k}{x}$ kalles omvendt proporsjonale.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Tekst til lineær funksjon

Tilbake