Det bestemte integralet

I dette tilfellet kan du løse integralet direkte. Da blir det slik:

$$\begin{array}{llll}\hfill {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\sin xdx& =-\cos x|{}_0^{\frac{\pi }{3}}& \hfill & \\ \hfill & =-\cos \frac{\pi }{3}-(-\cos 0)& \hfill & \\ \hfill & =-\frac{1}{2}-(-1)& \hfill & \\ \hfill & =\frac{1}{2}& \hfill & \end{array}$$

I dette tilfellet skal du finne arealet og du må derfor finne hvor funksjonen ligger over og under $x$-aksen. Det første du må gjøre er å finne nullpunktene til funksjonen på intervallet:

$$\begin{array}{cc}\cos x=0& \\ \Downarrow & \\ x=\frac{\pi }{2}+n2\pi x=-\frac{\pi }{2}+n2\pi & \end{array}$$

Du ser at $x=\frac{\pi }{2}$ ligger på intervallet $x\in \left[0,b\frac{3\pi }{2}\right]$. Det andre nullpunktet på intervallet er $-\frac{\pi }{2}+2\pi =\frac{3\pi }{2}$.

Av figuren ser du at grafen ligger over $x$-aksen på intervallet $[0,\frac{\pi }{2}⟩$ (Areal 1) og under $x$-aksen fra $⟨\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$ (Areal 2). Du må derfor regne ut integralet for hvert av dem.

Areal 1:

$$\begin{array}{llll}\hfill A_1& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx& \hfill & \\ \hfill & =\sin x|{}_0^{\frac{\pi }{2}}& \hfill & \\ \hfill & =\sin \frac{\pi }{2}-(-\sin 0)& \hfill & \\ \hfill & =1-0& \hfill & \\ \hfill & =1& \hfill & \end{array}$$

Areal 2:

$$\begin{array}{llll}\hfill A_2& ={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\cos xdx& \hfill & \\ \hfill & =\sin x|{}_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}& \hfill & \\ \hfill & =\sin \frac{3\pi }{2}-\left(\sin \frac{\pi }{2}\right)& \hfill & \\ \hfill & =-1-1& \hfill & \\ \hfill & =-2& \hfill & \end{array}$$

Arealet av området blir dermed:

$$A=\text{Areal 1}-\text{Areal 2}=1-(-2)=3.$$

På figuren ser du at arealet du skal regne ut består av området $A$, $-A$ og $B$. Det vil si at arealet skal være slik som i Eksempel 2:

$$\left|A\right|+\left|-A\right|+\left|B\right|=2A+B$$

Men, siden deler av grafen ligge over $x$-aksen ($A$) og deler av grafen ligger under $x$-aksen ($-A$ og $B$), så slår $A$ og $-A$ hverandre ihjel, slik at de arealene nulles ut. Du sitter da igjen med det skraverte arealet $B$ og integralet vil gi deg svaret:

$$A+(-A)+B=A-A+B=B$$

Det er åpenbart at $B$ ikke er arealet av $2A+B$. Derfor må du følge med på om oppgaveteksten vil ha et areal eller en utregning av et bestemt integralet!

NB!

• I tilfellet der hele grafen ligger over $x$-aksen vil utregningen for arealet og den teoretiske utregningen for det bestemte integralet være like.

• I tilfellet der hele grafen ligger under $x$-aksen vil utregningen for arealet og den teoretiske utregningen for det bestemte integralet ha samme verdi men motsatt fortegn.