House of Math-logo

Likningen til en ellipse

Ellipse med brennpunkt, stor- og liten halvakse.

Teori

Ellipsen

En ellipse består av alle punktene som har lik samlet avstand til to gitte punkter, kalt brennpunkter.

Følgende lengder er viktige for å beskrive en ellipse:

Lille halvakse:

den korteste avstanden fra origo til et punkt på ellipsen.

Store halvakse:

den lengste avstanden fra origo til et punkt på ellipsen.

Regel

Likningen for en ellipse

Dersom en ellipse har brennpunkter som ligger på x-aksen med lik avstand til origo, og du kaller store halvakse a og lille halvakse b, er likningen for ellipsen

x2 a2 + y2 b2 = 1.

En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse, nemlig tilfellet der brennpunktene ligger oppå hverandre.

Eksempel 1

Finn likningen for en ellipse der lengden til store halvakse er a = 5 og lengden til lille halvakse er b = 3

x2 52 + y2 32 = 1 x2 25 + y2 9 = 1

Eksempel 2

Vis at 9x2 + 4y2 36 = 0 er likningen for en ellipse

For å vise at dette er en ellipse, må du gjøre om uttrykket slik at det er på formen til ellipselikningen. Denne finner du ved å gjøre om på uttrykket: 9x2 + 4y2 36 = 0 9x2 + 4y2 = 36 | : 9 x2 + 4y2 9 = 4 | : 4 x2 4 + y2 9 = 1

Siden du har klart å gjøre om uttrykket til en ellipselikning så har du vist at

9x2 + 4y2 36 = 0

er en ellipse, med lille halvakse a = 4 = 2 og store halvakse b = 9 = 3.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!