Eulerlinjen

Trekant med ortosenter, tyngdepunkt, omsenter og eulerlinjen

Tegningen over viser et viktig resultat i geometrien, nemlig at ortosenteret, tyngdepunktet og omsenteret til en trekant ligger på linje. Denne linjen som går gjennom disse tre punktene kalles Eulerlinjen. Eulerlinjen er ikke en del av pensum, men det er aktuelt eksamensstoff!

Teori

Eulerlinjen

Eulerlinjen er den rette linjen hvor ortosenteret, tyngdepunktet og omsenteret til en trekant ligger.

Eksempel 1

Gitt punktene $(1, 2)$ , $(- 1, 3)$ og $(2, 0)$ . Kan disse punktene være ortosenter, tyngdepunktet og omsenteret i en trekant?

For å finne ut av dette bruker du ettpunktsformelen

y - y_{1} = a (x - x_{1})

på to av punktene og sjekker om det tredje kan ligge på linjen. Finner først stigningstallet $a$ .

a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 - 3}{1 - (- 1)} = \frac{- 1}{2}

Nå bruker du ett av punktene som du brukte for å regne ut stigningstallet og setter det inn i formelen. Da får du:

\begin{array}{l} y - 2 & = - \frac{1}{2} (x - 1) \\ y & = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} + 2 \\ = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \end{array}

Setter når det siste punktet $(2, 0)$ inn i uttrykket for $y$ og ser om det passer:

0 \neq \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2}

Du kan dermed konkludere at de tre punktene ikke kan være ortosenter, tyngdepunktet og omsenteret til en trekant. Dersom de skulle hatt mulighet for å være det måtte de ha ligget på Eulerlinjen.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Ortosenter og høydene

Tilbake