House of Math-logo

Harmoniske svingninger

En harmonisk svingning er en bølge som har lik periode og amplitude i alle utslagene. Disse svingningene er viktige i fysikk og i løsninger av differensiallikninger. Uttrykket for en harmonisk svingning er det enkleste uttrykket for en vilkårlig svingning du vil møte.

Harmonisk funksjon i koordinatsystem, faseforsyvning og periode

Teori

Harmoniske svingninger

En harmonisk svingning er en bølge gitt av

y = A sin(cx + ϕ) + d,

der d = likevektslinje, |A| = amplitude, ϕ c = faseforskyvning, 2π c = periode.

Likevektslinjen viser balansepunktet til grafen, det vil si der det er like stort utslag over som under. Du kan finne likevektslinjen til en sinusfunksjon ved å ta gjennomsnittet av toppunktet og bunnpunktet til grafen:

Formel

Likevektslinje

d = ymaks + ymin 2

Amplituden viser hvor stort utslag grafen har bort fra likevektslinjen. Du finner amplituden ved å ta avstanden mellom toppunktet og bunnpunktet på grafen og dele på to:

Formel

Amplitude

A = ymaks ymin 2

Tallet c som står foran x viser hvor raskt grafen svinger – altså det bestemmer perioden P til grafen. Sammenhengen er at P c = 2π. Du finner perioden ved å regne ut differansen mellom to punkter x1 og x2. Disse to punktene må være to etterfølgende toppunkter eller to etterfølgende bunnpunkter:

Formel

Periode

p = 2π c = x2 x1

Faseforskyvningen viser hvordan grafen er forskjøvet langs x-aksen i forhold til grunnfunksjonen. Størrelsen på forskyvningen er ϕ c. For en sinusfunksjon betyr det at ϕ c er avstanden fra 0 til den første x-verdien der grafen stiger og treffer likevektslinjen.

Formel

Faseforskyvning

ϕ c

Faseforskyvningen er positiv når ϕ c < 0. Altså, grafen er skjøvet mot høyre.

Faseforskyvningen er negativ når ϕ c > 0. Altså, grafen er skjøvet mot venstre.

Eksempel 1

Harmonisk sinusfunksjon i koordinatsystem

Over ser du en graf, og du skal finne sinusuttrykket til grafen

Først finner du likevektslinjen. Du ser at toppunktet har verdi ymaks = 6, mens bunnpunktet har verdi ymin = 2. Likevektslinjen er dermed

d = 6 + (2) 2 = 2.

Deretter finner du amplituden:

A = 6 (2) 2 = 4.

Så leser du av grafen at funksjonen har et toppunkt når x = 1 2 og et påfølgende toppunkt når x = 9 2. Perioden er dermed

9 2 1 2 = 8 2 = 4.

Nå som du har perioden, regner du ut c:

p = 2π c = 9 2 1 2 = 4 c = 2π 4 = π 2.

Til slutt må du finne ϕ. Du ser at grafen treffer likevektslinjen samtidig som den stiger i x = 7 2. Du får dermed at

ϕ c = 7 2 ϕ = 7 2 π 2 = 7π 4 .

Siden grafen er skjøvet mot høyre er ϕ < 0, det betyr at ϕ = 7π 4 . Du kan nå skrive opp sinusutrykket til grafen:

y = A sin(cx + ϕ) + d = 4 sin (π 2x + 7π 4 ) + 2.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Trigonometriske funksjoner
Neste oppslagPil som peker til høyre
Omforming til en harmonisk svingning