House of Math-logo

Omforming til en harmonisk svingning

Du kan ofte ha behov for å omforme funksjoner som inneholder både sinus og cosinus til en harmonisk svingning. Da vil du ha bruk for denne formelen:

Formel

Omforming til harmonisk svingning

a sin cx + b cos cx = A sin(cx + ϕ), = A cos(cx + ϕ), der A = a2 + b2, tan ϕ = b a, ϕ = ϕ π 2,

og ϕ ligger i samme kvadrant som punktet (a,b). Du kan avgjøre hvilken kvadrant en vinkel ϕ ligger i ved å sammenligne størrelsen med π 2, π, 3π 2 og 2π.

NB! Det er veldig smart å tegne en hjelpetegning av enhetssirkelen for å være sikker på at den verdien for ϕ du har funnet ligger i riktig kvadrant.

Når du skal løse likninger på formen

a sin cx + b cos cx = d

bør du skrive om venstre side til A sin(cx + ϕ).

Eksempel 1

Skriv om uttrykket sin 2x 4 cos 2x til en harmonisk svingning med sinus som grunnfunksjon f(x) = A sin(cx + ϕ)

Når du skal skrive om til en harmonisk svingning må du finne amplituden A og faseforskyvningen ϕ c. Du finner først amplituden A:

A = a2 + b2 = 12 + (4)2 = 17.

Når du nå finner faseforskyvningen må du ta hensyn til fortegnene til a (x-aksen) og b (y-aksen). Siden a > 0 og b < 0 så er du i fjerde kvadrant. Dermed finner du faseforskyvningen på følgende måte: tan ϕ = b a = 4 1 , ϕ = tan 1(4) 1,33 + nπ.

Siden π 2 < 1,33 < 0 så er 1,33 den verdien av ϕ du leter etter. Den harmoniske svingningen blir dermed:

17 sin(2x 1,33).

Eksempel 2

Du skal løse likningen

3 sin 2x + 4 cos 2x = 1x

Du regner ut A:

A = a2 + b2 = 32 + 42 = 5.

Du regner ut ϕ: tan ϕ = b a = 4 3, ϕ = tan 1 (4 3) 0,93 + nπ.

Du får at ϕ 0,93 + n π. Siden a > 0 og b > 0 skal du velge ϕ i første kvadrant, og siden 0 < 0,93 < π 2 1,57 setter du ϕ = 0,93. Du får da: 5 sin(2x + 0,93) = 1 sin(2x + 0,93) = 0,2

Denne grunnlikningen har løsningene 2x1 + 0,93 = sin 10,2 + n 2π 0,2 + n 2π, 2x2 + 0,93 = (π sin 1(0,2)) + n 2π (π 0,2) + n 2π.

Dermed får du løsningene x1 0,365 + n π, x2 1,01 + n π.

Eksempel 3

Skriv om uttrykket 2 sin x + 3 cos x til en harmonisk svingning med cosinus som grunnfunksjon f(x) = A cos(cx + ϕ)

NB! Når du skal gjøre om til en cosinusfunksjon så må du trekke π 2 fra ϕ som du regner ut med tangensfunksjonen. Da blir ϕ = ϕ π 2.

Når du skal skrive om til en harmonisk svingning må du finne amplituden A og faseforskyvningen ϕ c. Du finner først amplituden A:

A = a2 + b2 = 22 + 32 = 13.

Når du nå finner faseforskyvningen må du ta hensyn til fortegnene til a (x-aksen) og b (y-aksen). Siden a > 0 og b > 0 så er du i første kvadrant. Dermed finner du faseforskyvningen på følgende måte: tan ϕ = b a = 3 2, ϕ = tan 1 (3 2) 0,98 + nπ.

Siden 0 < 0,98 < π 2 så er 0,98 den verdien av ϕ du må trekke π 2 fra. Da får du:

ϕ = 0,98 π 2 0,59.

Den harmoniske svingningen blir dermed:

13 cos(x 0,59).

Eksempel 4

Du skal løse likningen

4 sin 2x 2 cos 2x = 1x

Først regner du ut A og ϕ slik at du kan sette inn i formelen for en harmonisk svingning: A = a2 + b2 = 42 + (2)2 = 20 tan ϕ = b a = 2 4 = 1 2 ϕ = tan 1 (1 2) 0,46 + nπ

Siden a > 0 og b < 0 skal du velge ϕ i fjerde kvadrant, og siden

π 2 1,57 < 0,46 < 0

setter du

ϕ = 0,46 π 2 2,03.

Du får da at: 20 cos(2x 2,03) = 1| : 20 cos(2x 2,03) = 0,22 2x 2,03 = cos 1(0,22)

Denne grunnlikningen har løsningene 2x1 2,03 = cos 1(0,22) + n 2π 1,35 + n 2π, 2x2 2,03 = cos 1(0,22) + n 2π 1,35 + n 2π.

Løser du disse likningene får du x1 1,69 + nπ, x2 0,34 + nπ.

Dette vil være løsningen ettersom du ikke har fått oppgitt noen definisjonsmengde i oppgaven.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Harmoniske svingninger