Omforming til en harmonisk svingning

Du kan ofte ha behov for å omforme funksjoner som inneholder både sinus og cosinus til en harmonisk svingning. Da vil du ha bruk for denne formelen:

Formel

Omforming til harmonisk svingning

\begin{array}{l} a \sin c x + b \cos c x & = A \sin (c x + ϕ), \\ = A \cos (c x + ϕ^{*}), \end{array}

der

\begin{array}{l} A & = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \\ \tan ϕ & = \frac{b}{a}, \\ ϕ^{*} & = ϕ - \frac{π}{2}, \end{array}

og $ϕ$ ligger i samme kvadrant som punktet $(a, b)$ . Du kan avgjøre hvilken kvadrant en vinkel $ϕ$ ligger i ved å sammenligne størrelsen med $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ og $2 π$ .

NB! Det er veldig smart å tegne en hjelpetegning av enhetssirkelen for å være sikker på at den verdien for

ϕ

du har funnet ligger i riktig kvadrant.

Når du skal løse likninger på formen

a \sin c x + b \cos c x = d

bør du skrive om venstre side til $A \sin (c x + ϕ)$ .

Eksempel 1

Skriv om uttrykket $\sin 2 x - 4 \cos 2 x$ til en harmonisk svingning med sinus som grunnfunksjon $f (x) = A \sin (c x + ϕ)$

Når du skal skrive om til en harmonisk svingning må du finne amplituden $A$ og faseforskyvningen $\frac{ϕ}{c}$ . Du finner først amplituden $A$ :

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{17} .

Når du nå finner faseforskyvningen må du ta hensyn til fortegnene til $a$ ( $x$ -aksen) og $b$ ( $y$ -aksen). Siden $a > 0$ og $b < 0$ så er du i fjerde kvadrant. Dermed finner du faseforskyvningen på følgende måte:

\begin{array}{l} \tan ϕ & = \frac{b}{a} = \frac{- 4}{1}, \\ ϕ & = \tan^{- 1} (- 4) \approx - 1, 33 + n π . \end{array}

Siden $- \frac{π}{2} < - 1, 33 < 0$ så er $- 1, 33$ den verdien av $ϕ$ du leter etter. Den harmoniske svingningen blir dermed:

\sqrt{17} \sin (2 x - 1, 33) .

Eksempel 2

Du skal løse likningen

3 \sin 2 x + 4 \cos 2 x = 1 x \in ℝ

Du regner ut $A$ :

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 .

Du regner ut $ϕ$ : $\begin{array}{l} \tan ϕ & = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}, \\ ϕ & = \tan^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 0, 93 + n π . \end{array}$

Du får at $ϕ \approx 0, 93 + n \cdot π$ . Siden $a > 0$ og $b > 0$ skal du velge $ϕ$ i første kvadrant, og siden $0 < 0, 93 < \frac{π}{2} \approx 1, 57$ setter du $ϕ = 0, 93$ . Du får da:

\begin{array}{l} 5 \sin (2 x + 0, 93) & = 1 \\ \sin (2 x + 0, 93) & = 0, 2 \end{array}

Denne grunnlikningen har løsningene

\begin{array}{l} 2 x_{1} + 0, 93 & = \sin^{- 1} 0, 2 + n \cdot 2 π \\ \approx 0, 2 + n \cdot 2 π, \\ 2 x_{2} + 0, 93 & = (π - \sin^{- 1} (0, 2)) + n \cdot 2 π \\ \approx (π - 0, 2) + n \cdot 2 π . \end{array}

Dermed får du løsningene

\begin{array}{l} x_{1} & \approx - 0, 365 + n \cdot π, \\ x_{2} & \approx 1, 01 + n \cdot π . \end{array}

Eksempel 3

Skriv om uttrykket $2 \sin x + 3 \cos x$ til en harmonisk svingning med cosinus som grunnfunksjon $f (x) = A \cos (c x + ϕ^{*})$

NB! Når du skal gjøre om til en cosinusfunksjon så må du trekke $\frac{π}{2}$ fra $ϕ$ som du regner ut med tangensfunksjonen. Da blir $ϕ^{*} = ϕ - \frac{π}{2}$ . Når du skal skrive om til en harmonisk svingning må du finne amplituden $A$ og faseforskyvningen $\frac{ϕ}{c}$ . Du finner først amplituden $A$ :

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13} .

Når du nå finner faseforskyvningen må du ta hensyn til fortegnene til $a$ ( $x$ -aksen) og $b$ ( $y$ -aksen). Siden $a > 0$ og $b > 0$ så er du i første kvadrant. Dermed finner du faseforskyvningen på følgende måte: