Hypergeometrisk sannsynlighet

Regel

Kriterier for bruk av hypergeometrisk fordeling

En tilfeldig variabel $X$ er hypergeometrisk fordelt dersom den er laget på følgende måte:

Du trekker tilfeldig fra en samling ting som er delt i to eller flere grupper: Gruppe $A$ , gruppe $B$ , gruppe $C$ og så videre.
Du trekker $r$ ting, uten å legge tilbake, fordelt på disse gruppene.
$X$ er antallet elementer du trekker ifra de ulike gruppene.

Teori

Hypergeometrisk fordeling

Sannsynligheten for å få $k$ elementer i gruppe $A$ og $r - k$ elementer i $B$ er gitt ved:

P (k av A og r - k av B) = \frac{(\binom{a}{k}) \cdot (\binom{b}{r - k})}{(\binom{n}{r})},

der bokstavene i formelen står for:

$k$ er antall elementer som du trekker fra gruppe $A$ .
$r$ er antall elementer som du ønsker å trekke fra gruppe $A$ og gruppe $B$ til sammen.
$r - k$ er antall elementer som du trekker fra gruppe $b$ .
$a$ er antall elementer i $A$ , og $b$ er antall elementer i $B$ .
$n = a + b$ er totalt antall elementer du har.

Eksempel 1

Du deler ut fem kort fra en vanlig kortstokk, og skal se hvor mange hjerter du får. La $X$ være antall hjerterkort blant kortene du får. Hva er sannsynligheten for å få tre hjerterkort?

Fra teksten skjønner du at: Populasjonen er 52, siden det er 52 kort i kortstokken. Da er 13 hjerter og $52 - 13 = 39$ ikke-hjerter. Gruppene du har i dette tilfellet er hjerter og ikke-hjerter. Du får fem kort totalt, hvorav tre er fra gruppen med hjerterkort. Da må $5 - 3 = 2$ kort være fra gruppen ikke-hjerter.

Etter å ha gjort denne sorteringen ser du at $X$ er hypergeometrisk fordelt, og du kan sette rett inn i formelen over. Du får dermed at

\begin{array}{l} P (3 of 13 and 2 of 39) & = \frac{(\binom{13}{3}) \cdot (\binom{39}{2})}{(\binom{52}{5})} \\ = 0, 082 . \end{array}

\begin{array}{l} P (3 of 13 and 2 of 39) = \frac{(\binom{13}{3}) \cdot (\binom{39}{2})}{(\binom{52}{5})} = 0, 082 . \end{array}

Sannsynligheten for å få hjertekort er

8, 2

%.

Eksempel 2

En eske med lyspærer inneholder 100 lyspærer. Syv av dem er ødelagt. Du trekker fire tilfeldige lyspærer fra esken. Hva er sannsynligheten for at alle lyspærene du trekker virker?

Fra oppgaven ser du at populasjonen er 100. Det er snakk om to grupper, en gruppe med ødelagte lyspærer og én gruppe med fungerene lyspærer. Gruppen med ødelagte lyspærer har syv elementer, og gruppen med fungerende lyspærer har $100 - 7 = 93$ elementer. Du skal trekke $k = 4$ lyspærer. Du skjønner nå at $X$ er hypergeometrisk fordelt, og vil regne ut sannsynligheten for at $X = 0$ . Da bruker du formelen over og får at:

P (X = 0) = \frac{(\binom{7}{0}) \cdot (\binom{93}{4})}{(\binom{100}{4})} \approx 0, 745 .

Det er altså $74, 5$ % sjanse for at alle lyspærene virker.

Eksempel 3

Danny Boyle skal sette opp en ny musikal på West End og holder audition for statistene. Det er 14 kvinnelige og 7 mannlige skuespillere som kommer på denne auditionen, og Boyle trenger 8 skuespillere uavhengig av kjønn. Tenk deg at alle var like gode på audition slik at sjansene for å bli valgt er like store.

: Hva er sannsynligheten for at han velger 4 skuespillere av hvert kjønn?
: Hva er sannsynligheten for at alle de mannlige skuespillerne som kom på audition får rollen?
: Hva er sannsynligheten for at minst to av skuespillerne som blir valgt er kvinner?

Her ser du at gruppe $A$ (kvinnene) har 14 elementer, og at gruppe $B$ (mennene) har 7 elementer. Det er altså $14 + 7 = 21$ elementer totalt. Danny skal velge $r = 8$ av dem. La $X$ være antallet kvinner han velger.

1.

Her er du interessert i sannsynligheten for å trekke 4 fra gruppe

a

, og 4 fra gruppe

b

. Du setter

k = 4

,

r = 8

inn i formelen, og får

\begin{array}{l} P (X = 4) & = \frac{(\binom{14}{4}) (\binom{7}{8 - 4})}{(\binom{21}{8})} \\ \approx 0, 172 . \end{array}

\begin{array}{l} P (X = 4) = \frac{(\binom{14}{4}) (\binom{7}{8 - 4})}{(\binom{21}{8})} \approx 0, 172 . \end{array}

Altså er sannsynligheten for at Danny ender med like mange kvinner som menn omtrent

17, 2

%.

2.

I denne deloppgaven vil du ha sannsynligheten for å trekke alle elementene fra gruppe

b

. Siden gruppe

b

har 7 elementer og Danny skal trekke 8 betyr dette at han må velge nøyaktig 1 kvinne. Altså, du vil regne ut

P (X = 1)

. Dette gjør du med samme formel som i forrige deloppgave, og du får

\begin{array}{l} P (X = 1) & = \frac{(\binom{14}{1}) (\binom{7}{7})}{(\binom{21}{8})} \\ = 6, 9 \cdot 1 0^{- 5}, \end{array}

\begin{array}{l} P (X = 1) = \frac{(\binom{14}{1}) (\binom{7}{7})}{(\binom{21}{8})} = 6, 9 \cdot 1 0^{- 5}, \end{array}

Altså er sannsynligheten for at Danny ender med sju menn og én kvinne omtrent

0, 007

%.

3.

Her vil du regne ut sannsynligheten for å ende med minst to kvinner. Dette er komplementet til hendelsen «Danny ender med 0 eller 1 kvinne», og sannsynligheten for denne er

P (X = 0) + P (X = 1)

.

P (X = 0)

er 0, siden Danny ikke kan ende med null kvinner. (Det er bare sju menn, og han trenger åtte skuespillere!)

$P (X = 1)$ regnet du ut i forrige deloppgave. Altså er

\begin{array}{l} P (X \geq 2) & = 1 - P (X = 0 eller 1) \\ = 1 - (0 + 0, 000 069) \\ = 0, 999 . \end{array}

Det er altså $99, 9$ % for at Boyle velger to eller flere kvinner.

Eksempel 4

Bradley Cooper går på buffet og skal spise sushi. På tallerkenen hans er det plass til 15 biter og han skal fylle denne. Han ser at han kan velge mellom 30 biter med laksemaki, 20 biter med tempuramaki og 15 biter med kamskjellmaki. Hva er sannsynligheten for at han velger fem biter av hver?

Her skal Bradley altså velge fra tre ulike grupper. Fra den første gruppen på 30 biter skal han ha 5, fra den andre gruppen på 20 biter vil han også ha 5 og det samme gjelder den siste gruppen med 15 biter. Til sammen er det $30 + 20 + 15 = 65$ biter. Du kan nå sette rett inn i formelen for hypergeometrisk sannsynlighet og får at:

\begin{array}{l} P (fem sushi av hver type) & = \frac{(\binom{30}{5}) (\binom{20}{5}) (\binom{15}{5})}{(\binom{65}{15})} \\ = 0, 032 \end{array}

Sannsynligheten for at Bradley velger fem biter av hver type er $3, 2$ %.