House of Math-logo

Inntekt, kostnad, enhetskostnad og overskudd

Teori

Inntekt

Inntekt sier hvor mye en bedrift omsetter for, altså hvor mye penger som kommer inn på kontoen til bedriften. Om du ikke får oppgitt en inntektsfunksjon bruker du denne generelle formelen:

I(x) = p x

der x er antall enheter solgt og p er prisen per enhet.

Teori

Kostnad

Kostnad sier hvor mye penger som går ut av kontoen til bedriften ved produksjon av x enheter,

K(x).

Du deler kostnadene inn i faste kostnader og variable kostnader:

Faste kostnader (FK) er uavhengig av produksjonsmengden, slik som husleie og telefon.

Variable kostnader (VK) er avhengig av produksjonsmengden, slik som lønn og materialkostnader.

Teori

Enhetskostnad

Enhetskostnad sier hvor mye det koster å produsere én enhet. Du finner den ved å dele kostnadene på antall enheter:

Enhetskostnad = E(x) = K(x) x .

Teori

Overskuddet

Overskuddet sier hvor mye penger som er til overs eller for lite i en periode. Overskuddet er differensen mellom inntekt og kostnad for en gitt periode. Dette kan oppgis som

Overskudd = O(x) = I(x) K(x).

Grafisk tolkning

  • Inntektsgrafen er stigende. Det betyr at jo flere enheter du selger av et produkt desto mer penger kommer inn til bedriften.

  • Kostnadsgrafen er også stigende. Det betyr at jo flere enheter du selger av et produkt desto større er produksjonen, og kostnadene øker.

  • Overskuddet er ofte en krum graf. Lite overskudd i begynnelsen, godt overskudd ved en gitt produksjon og mindre overskudd igjen ved store produksjoner. At overskuddet avtar mot slutten av et intervall har ofte med kapasitet og slitasje å gjøre.

  • Der kostnadsfunksjonen skjærer inntektsfunksjonen er overskuddet = 0. Det betyr at overskuddsfunksjonen skjærer x-aksen i disse punktene.

  • Der avstanden mellom inntektsfunksjonen og kostnadsfunksjonen er størst, er overskuddet størst og O(x) har et toppunkt. Optimal produksjonsmengde finner du for x-verdien i dette toppunktet.

  • Den minste x-verdien for enhetskostnadene finner du der

    K(x) = E(x).

Eksempel 1

BMW regner med at kostnadene, målt i tusen euro, ved en produksjon av x enheter av en ny biltype per dag er gitt ved funksjonen

K(x) = 0,25x2 + 100x + 5000,x [0, 400 .

K(x) = 0,25x2 + 100x + 5000,x [0, 400 .

1.
Finn et uttrykk for enhetskostnaden.
2.
Hva er enhetskostnaden ved en produksjon 76 biler?
3.
BMW selger denne biltypen for 200000 euro per bil. Hva blir inntektsfunksjonen?
4.
Hva er inntekten ved salg av 132 biler?
5.
Finn et uttrykk for overskuddet.
6.
Hvor mange biler BMW produsere for å i overskudd?

1.
Du finner enhetskostnaden ved å dele totalkostnaden K(x) på antall enheter x. E(x) = K(x) x = 0,25x2 + 100x + 5000 x = 0,25x + 100 + 5000 x

Enhetskostnaden er dermed

E(x) = 0,25x + 100 + 5000 x .
2.
Enhetskostnaden ved en produksjon på 76 biler blir dermed:
E(76) = 0,25(76) + 100 + 5000 76 = 184,789

E(76) = 0,25(76) + 100 + 5000 76 = 184,789

Siden tallene i funksjonen er i tusen euro blir enhetskostnaden ved produksjon av 76 biler
184,789 1000 = 184789

Altså, når BMW produserer 76 biler koster hver bil 184789 euro å produsere.

3.
Siden oppgaven sier at funksjonene er i tusen euro, må du først dele 200000 euro på 1000 for at det skal bli riktig i funksjonen. Da får du:
200000 : 1000 = 200

Dermed kan du lage et uttrykk for inntektsfunksjonen ved å gange prisen med antall enheter:

I(x) = 200x
4.
For å finne inntekten setter du rett inn i inntektsfunksjonen og får:
I(132) = 200 132 = 26400

Men, siden funksjonen er i tusen euro må du gange svaret ditt med 1000. Dermed får du:

26400 1000 = 26400000

Ved salg av 132 biler blir inntekten til BMW 26400000 euro.

5.
Overskuddet er inntekter minus kostnader. Da får du som følger:
O(x) = I(x) K(x) = 200x (0,25x2 + 100x + 5000) = 0,25x2 + 100x 5000.

O(x) = I(x) K(x) = 200x (0,25x2 + 100x + 5000) = 0,25x2 + 100x 5000.

6.
Dette betyr at du må finne den x-verdien som gjør at overskuddet er større enn null. Da må du løse ulikheten: O(x) > 0 0,25x2 + 100x 5000 > 0

Du ser av funksjonen at det er en parabel med toppunkt siden det er en andregradsfunksjon med a = 0,25 < 0. Da vet du at funksjonene ligger over x-aksen mellom nullpunktene. Du må derfor finne disse:

Du løser likningen

0,25x2 + 100x 5000 = 0.

Du kan løse denne likningen i et digitalt hjelpemiddel som CAS i GeoGebra . Da får du at svaret er x1 58,6 og x2 = 341,4. Du kan dermed konkludere med at produksjonen gir BMW et overskudd dersom de selger mellom 59 og 341 biler.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Neste oppslagPil som peker til høyre
Inntekter ved etterspørsel og pris