Hva er den komplekskonjugerte?

For komplekse tall finnes det en regneoperasjon som heter konjugasjon. Et annet begrep som brukes om konjugasjon er kompleks konjugasjon. Den konjugerte av et komplekst tall z betegnes med z eller z.

Teori

For et komplekst tall z = a + bi er den konjugerte gitt ved

z = a bi.

Når du konjugerer et tall z endrer du fortegnet til imaginærdelen til z. På polarform svarer dette til at du endrer fortegnet til argumentet til z. I det komplekse planet kan du tenke på konjugasjon av z som en speiling av z om den reelle aksen.

Fremstilling av konjugasjon i det komplekse planet

Den konjugerte av z har samme norm og realdel som z. Dette medfører at reelle tall ikke påvirkes av konjugasjon. Reelle tall kalles derfor fikspunkter for konjugasjon. Konjugasjon er også en involusjon. Dette betyr at om du bruker konjugasjon to ganger kommer du tilbake til utgangspunktet. Den konjugerte av den konjugerte av z er derfor z:

z = z.

Eksempel 1

Skriv z for z = 1 + 3i kartesisk form og polarform

På kartesisk form finner du den konjugerte ved å endre fortegnet til imaginærdelen til z. På kartesisk form blir den konjugerte av z derfor

z = 1 3i.

For å skrive z på polarform må du først finne normen og argumentet til z. Her er normen r = 2 og argumentet 𝜃 = 2π 3 . På polarform er z = 2ei2π 3 . Siden du konjugerer z ved å endre fortegnet til argumentet til z, har z norm r = 2 og argument 𝜃 = 2π 3 . På polarform blir den konjugerte av z derfor

z = 2ei2π 3 .

En viktig egenskap ved konjugasjon er at produktet av et komplekst tall z med sin egen konjugert z er kvadratet av normen til z, og dermed et reelt tall:

Formel

For alle komplekse tall z = a + bi er

z z = (a + bi) (a bi) = a2 + b2 = |z|2.

z z = (a + bi) (a bi) = a2 + b2 = |z|2.

Multiplikasjon av komplekse tall kan tenkes på som en kombinasjon av en skalering og rotasjon i det komplekse planet. Argumentene til z og z er motsatte, 𝜃 og 𝜃. Produktet av z med z er dermed en rotasjon av z fra 𝜃 til 0. Produktet av z og z er derfor et reelt tall.

Normene til z og z er like. Multiplikasjon med z kan derfor tenkes på som en skalering av z fra r til r2. Produktet av z og z er derfor kvadratet av normen til z. Denne egenskapen utnyttes blant annet til å utføre divisjon av komplekse tall og til å finne den inverse av komplekse tall.

Produktet av et tall med sin egen konjugert

Regel

Regneregler for konjugasjon

For komplekse tall z og w gjelder

z + w = z + w z w = z w z w = z w z w = (z w ),w0

Regnereglene for konjugasjon sier at rekkefølgen på konjugasjon og de fire regneartene er likegyldig. Det er det samme om du først utfører en operasjon og deretter konjugerer resultatet, eller om du først konjugerer og deretter utfører operasjonen.

Eksempel 2

Finn den konjugerte av z w

Først kan du bruke regnereglene for konjugasjon til å endre rekkefølgen på konjugasjon og multiplikasjon

z w = z w.

Deretter kan du utnytte at konjugasjon er en involusjon for å forenkle

z = z.

Den konjugerte av z w er dermed

z w = z w = z w.

Tenk på dette

Ser du likheten mellom produktet av et tall med sin egen konjugert og konjugatsetningen?

Konjugatsetningen kan brukes til å faktorisere uttrykk på formen a2 b2:

a2 b2 = (a + b) (a b).

Ved å bruke kompleks konjugasjon kan du nå også faktorisere uttrykk på formen a2 + b2:

a2 + b2 = (a + bi) (a bi).

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!