Parameterfremstilling

To linjer som krysser hverandre i et koordinatsystem

En parameterfremstilling en ny måte å beskrive linjer eller kurver i planet. Vanlige koordinater er uttrykt ved tall for $x$ -koordinaten og $y$ -koordinaten. I en parameterfremstilling er koordinatene uttrykt ved funksjoner med hjelpevariabler $s$ , $t$ og så videre.

En av årsakene til at du ønsker å bruke parameterfremstilling er at du kan finne ut om to objekter er på samme sted til samme tid. Hvorfor er det viktig? Tenk deg at du skal ut å fly. Da er det fint å vite om det finnes to fly som kan være på samme sted til samme tid. Det ville i så fall være katastrofalt!

Teori

Parameterfremstilling

Gitt et punkt $(x_{0}, y_{0})$ , en retningsvektor $\vec{r} = [a, b]$ og en variabel $t$ . Da er parameterfremstillingen som følger:

Vektorform:

[x, y] = [x_{0}, y_{0}] + t [a, b]

Koordinatform:

x (t) = x_{0} + a t \land y (t) = y_{0} + b t

x (t) = x_{0} + a t \land y (t) = y_{0} + b t

Du ser fra de to ulike måtene å skrive parameterfremstillingen at de er nært beslektet. Dersom du lager en likning med alle $x$ -koordinatene fra vektorformen, og en likning med alle $y$ -koordinatene fra vektorformen, så får du parameterfremstillingen på koordinatform.

Eksempel 1

Finn skjæringspunktet mellom linjene $l$ og $m$ gitt parametriseringene

$\begin{array}{l} l & : x (t) = 1 + t \land y (t) = 2 - 2 t \\ m & : x (s) = - 3 + s \land y (s) = - 5 + 2 s, \end{array}$

For å finne skjæringspunktet lager du et likningssett med $x$ -koordinatene og $y$ -koordinatene:

\begin{array}{l} 1 + t & = - 3 + s \\ t & = - 4 + s \\ 2 - 2 t & = - 5 + 2 s \\ ⇓ \\ - 2 (- 4 + s) & = - 5 + 2 s \\ 8 - 2 s & = - 5 + 2 s \\ 13 & = 4 s \\ s & = \frac{13}{4} \\ t & = - 4 + s \\ ⇓ \\ t & = - 4 + \frac{13}{4} \\ t & = - \frac{3}{4} \end{array}

\begin{array}{l} 1 + t & = - 3 + s & 2 - 2 t & = - 5 + 2 s \\ t & = - 4 + s & - 2 (- 4 + s) & = - 5 + 2 s \\ 8 - 2 s & = - 5 + 2 s \\ 13 & = 4 s \\ s & = \frac{13}{4} \\ t & = - 4 + \frac{13}{4} \\ t & = - \frac{3}{4} \end{array}

Du finner skjæringspunktet ved å sette verdiene for

s

eller

t

tilbake i uttrykket sitt:

\begin{array}{l} x (\frac{- 3}{4}) & = 1 + \frac{- 3}{4} = \frac{1}{4} \\ y (\frac{- 3}{4}) & = 2 - 2 \cdot \frac{- 3}{4} = \frac{7}{2} \end{array}

Dermed har du funnet skjæringspunktet i $(\frac{1}{4}, \frac{7}{2})$ . (Du kan også sette inn for $s$ , da finner du det samme punktet. Det kan være lurt å gjøre det på eksamen om du har tid, dersom svarene blir like vet du at du har regnet riktig!)