Parameterfremstilling

To linjer som krysser hverandre i et koordinatsystem

En parameterfremstilling en ny måte å beskrive linjer eller kurver i planet. Vanlige koordinater er uttrykt ved tall for $x$ -koordinaten og $y$ -koordinaten. I en parameterfremstilling er koordinatene uttrykt ved funksjoner med hjelpevariabler $s$ , $t$ og så videre.

En av årsakene til at du ønsker å bruke parameterfremstilling er at du kan finne ut om to objekter er på samme sted til samme tid. Hvorfor er det viktig? Tenk deg at du skal ut å fly. Da er det fint å vite om det finnes to fly som kan være på samme sted til samme tid. Det ville i så fall være katastrofalt!

Teori

Parameterfremstilling

Gitt et punkt $(x_{0}, y_{0})$ , en retningsvektor $\vec{r} = [a, b]$ og en variabel $t$ . Da er parameterfremstillingen som følger:

Vektorform:

[x, y] = [x_{0}, y_{0}] + t [a, b]

Koordinatform:

x (t) = x_{0} + a t \land y (t) = y_{0} + b t

x (t) = x_{0} + a t \land y (t) = y_{0} + b t

Du ser fra de to ulike måtene å skrive parameterfremstillingen at de er nært beslektet. Dersom du lager en likning med alle $x$ -koordinatene fra vektorformen, og en likning med alle $y$ -koordinatene fra vektorformen, så får du parameterfremstillingen på koordinatform.

Eksempel 1

Finn skjæringspunktet mellom linjene $l$ og $m$ gitt parametriseringene

$\begin{array}{l} l & : x (t) = 1 + t \land y (t) = 2 - 2 t \\ m & : x (s) = - 3 + s \land y (s) = - 5 + 2 s, \end{array}$

For å finne skjæringspunktet lager du et likningssett med $x$ -koordinatene og $y$ -koordinatene:

\begin{array}{l} 1 + t & = - 3 + s \\ t & = - 4 + s \\ 2 - 2 t & = - 5 + 2 s \\ ⇓ \\ - 2 (- 4 + s) & = - 5 + 2 s \\ 8 - 2 s & = - 5 + 2 s \\ 13 & = 4 s \\ s & = \frac{13}{4} \\ t & = - 4 + s \\ ⇓ \\ t & = - 4 + \frac{13}{4} \\ t & = - \frac{3}{4} \end{array}

\begin{array}{l} 1 + t & = - 3 + s & 2 - 2 t & = - 5 + 2 s \\ t & = - 4 + s & - 2 (- 4 + s) & = - 5 + 2 s \\ 8 - 2 s & = - 5 + 2 s \\ 13 & = 4 s \\ s & = \frac{13}{4} \\ t & = - 4 + \frac{13}{4} \\ t & = - \frac{3}{4} \end{array}

Du finner skjæringspunktet ved å sette verdiene for

s

eller

t

tilbake i uttrykket sitt:

\begin{array}{l} x (\frac{- 3}{4}) & = 1 + \frac{- 3}{4} = \frac{1}{4} \\ y (\frac{- 3}{4}) & = 2 - 2 \cdot \frac{- 3}{4} = \frac{7}{2} \end{array}

Dermed har du funnet skjæringspunktet i $(\frac{1}{4}, \frac{7}{2})$ . (Du kan også sette inn for $s$ , da finner du det samme punktet. Det kan være lurt å gjøre det på eksamen om du har tid, dersom svarene blir like vet du at du har regnet riktig!)

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Mediansetningen med vektorer

Neste oppslag

Vektorlikninger

Tilbake