Skjæring mellom plan og kuleflate

En kule og et plan skjærer hverandre og danner en sirkel

Når en kuleflate og et plan skjærer hverandre blir skjæringen et punkt eller en sirkel. Her skal du se på tilfellet der planet skjærer kuleflaten i en sirkel. Vanlige eksamensoppgaver omhandler å finne avstanden fra sentrum av kulen til et plan, og radien i skjæringssirkelen. Her ser du hvordan det løses:

Se for deg en linje fra sentrum $S$ i kulen langs normalvektoren til planet. Denne vil treffe planet i et punkt $A$ . Avstanden til linjestykket mellom sentrum og planet kan du finne ved å bruke formelen for avstand fra punkt til plan.
Du kan se for deg en annen linje fra sentrum til et punkt $B$ på skjæringssirkelen. Lengden til denne linjen vil være lik radien til kuleflaten.
Linjen langs planet fra $A$ til $B$ danner radien i skjæringssirkelen.
De tre punktene $A, B$ og $S$ danner en rettvinklet trekant der $\vec{S A}$ og $\vec{A B}$ danner $90$ °. På denne kan du bruke Pytagoras. Deretter finner du radien til skjæringssirkelen ved å løse likningen
${| \vec{A B} |}^{2} + {| \vec{S A} |}^{2} = {| \vec{S B} |}^{2}$

for $| \vec{A B} |$ .

Eksempel 1

Du har en sirkel med sentrum $S = (- 2, 1, 0)$ med radius $R = 3$ . Finn avstanden fra $S$ til planet
$x - 3 y - 2 z - 1 = 0$

og finn radien $r$ til skjæringssirkelen.

Først finner du avstanden fra sentrum til planet ved å bruke formelen for avstand mellom et punkt og et plan. Da får du

\begin{array}{l} | \vec{S A} | & = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ = \frac{| (- 2) - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 1 |}{\sqrt{1 + {(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} \\ = \frac{6}{\sqrt{14}} . \end{array}

Fra Pytagoras får du

\begin{array}{l} {| \vec{A B} |}^{2} + {| \vec{S A} |}^{2} & = {| \vec{S B} |}^{2} \\ r^{2} + {(\frac{6}{\sqrt{14}})}^{2} & = 3^{2} \\ r^{2} & = 9 - \frac{36}{14} = \frac{45}{7} \\ r & = \sqrt{\frac{45}{7}} . \end{array}

Du har derfor at avstanden fra sentrum til planet er $\frac{6}{\sqrt{14}}$ og radien i skjæringssirkelen er $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{7}}$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Skjæring mellom tangentplan og kuleflate

Tilbake