Skjæring mellom tangentplan og kuleflate

Når en kuleflate og et plan skjærer hverandre blir skjæringen et punkt eller en sirkel. Skjæringen mellom et tangentplan og en kuleflate blir alltid et punkt, som vi kaller tangeringspunktet. For å finne dette tangeringspunktet går du frem som følger:

Du ser at vektoren som går fra sentrum i kulen til tangeringspunktet må stå normalt på tangentplanet, fordi en tangent alltid står $90$ ° på linjen fra sentrum til tangeringspunktet. Denne vektoren er altså parallell til normalvektoren for tangentplanet, og du kan lage en linje gjennom sentrum av kulen som har denne vektoren som retningsvektor. For å finne tangeringspunktet trenger du å finne skjæringspunktet mellom denne linjen og tangentplanet.

Et plan som tangerer en kule i et punkt

Eksempel 1

Du har en kuleflate med sentrum i $(1, 1, 2)$ som har et tangentplan med likning

x + 2 y = 0 .

Finn tangeringspunktet.

Du ser at normalvektoren til planet må være $[1, 2, 0]$ . Parameterframstillingen for linjen gjennom sentrum med denne retningsvektoren blir da

x (t) = 1 + t, y (t) = 1 + 2 t, z (t) = 2 .

x (t) = 1 + t, y (t) = 1 + 2 t, z (t) = 2 .

Sett denne inn i likningen for tangentplanet. Da får du

\begin{array}{l} (1 + t) + 2 (1 + 2 t) & = 0 \\ 3 + 5 t & = 0 \\ t & = - \frac{3}{5} \end{array}

Du setter inn for $t$ i likningen og får

(1 + \frac{- 3}{5}, 1 + 2 \frac{- 3}{5}, 2) = (\frac{2}{5}, - \frac{1}{5}, 2) .

Dette vil være skjæringspunktet mellom linjen fra sentrum og tangentplanet, og da også tangentpunktet.

Formel

Tangeringspunkt mellom kuleflate og plan

\vec{O T} = \vec{O S} + r \cdot \frac{1}{| \vec{n} |} \cdot \vec{n},

der $T$ er tangeringspunktet og $S$ er sentrum i kulen.

Eksempel 2

Et vanlig eksamensspørsmål er å vise at et plan tangerer en kuleflate og finne tangeringspunktet. Et plan tangerer en kuleflate dersom avstanden fra sentrum $s$ av kulen til planet $α$ er lik radien i kulen.

Si du har kuleflaten

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9

og planet

2 x + y - 2 z + 4 = 0 .

Fra likningen for en kuleflate ser du at radien er $r = \sqrt{9} = 3$ og sentrum er $(2, 1, 0)$ . For å vise at planet tangerer kuleflaten, bruker du formelen for avstanden fra punkt til plan og sjekker at svaret blir radiusen i kulen, altså 3:

\begin{array}{l} \frac{| 2 (2) + 1 \cdot 1 - 2 (0) + 4 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} & = \frac{| 4 + 1 + 0 + 4 |}{\sqrt{9}} \\ = \frac{| 9 |}{3} \\ = 3 \end{array}

For å finne tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet kan du gjøre som i Eksempel 1. Du kan også bruke denne formelen over for tangeringspunkt mellom kuleflate og plan.

NB! Merk at normalvekoren her kan sende deg i feil retning. Da vil du ende opp på motsatt side av kulen. Sjekk derfor om svaret du får ligger i tangentplanet. Dersom det ikke er tilfellet bytter du bare $\vec{n}$ ut med $- \vec{n}$ . I dette tilfellet er radien i kulen og lengden av normalvektoren det samme slik at du får