Обчислення області визначення та області значень у математиці

Пiд час роботи з функцiями часто потрiбно вказувати свої значення x та y. У математицi термiном область визначення позначається множина значень x, якi є допустимими для задачi, а термiном область значень — вiдповiдна множина значень y. Формально їх називають так:

Теорiя

Область визначення i область значень

Множину всiх допустимих значень x для функцiї f називають областю визначення f i записують Df.

Множину всiх значень y, якi визначаються Df, називають областю значень f i записують Rf.

Набiльш поширенi приклади:

Приклад 1

Роман стоїть на березi i жбурляє камiнь у воду. Камiнь рухається шляхом, заданим функцiєю f(x), де x — це вiдстань вiд Романа до каменя в горизонтальному напрямку, а y — висота камiня над водою протягом усього часу. Дiзнаємося, що висота каменю вiдповiдає функцiї

f(x) = 0.1x2 + x + 2

Знайди область визначення Df i область значень Rf для функцiї, щоб кидок мав сенс.

Щоб знайти область визначення Df, потрiбно знайти найменше та найбiльше значення, яких може набувати x. Як бачимо, x має бути бiльшим за 0. Якщо допустити, щоб x було меншим за 0, Роман у кiнцевому пiдсумку викине камiнь на берег, а це не вiдповiдає умовам задачi.

Тепер потрiбно знайти найбiльше значення x. Кидок завершується, коли камiнь вдариться об поверхню води, а це вiдбувається, коли y = 0. Отже, потрiбно розв’язати рiвняння

f(x) = 0.

Оскiльки f(x) є квадратичною функцiєю, то для розв’язання цього рiвняння можемо використати формулу для коренiв квадратного рiвняння. Отже, розв’язками буде x1 = 1.71 та x2 = 11.71. Область визначення починається з 0, а отже, можна iгнорувати x1, тому що x1 є вiд’ємним числом. Камiнь впаде у воду через 11.71 метра. Отже, область визначення

Df = [0, 11.71] .

Щоб знайти область значення Rf, потрiбно знайти найменше i найбiльше значення, яких може набувати y, на основi значень x, знайдених для Df. Найменшого значення y набуває, коли камiнь вдаряється об поверхню води. Це вiдбувається при y = 0, тобто на висотi 0 метрiв над водою.

Щоб знайти найбiльше значення y, потрiбно знайти значення y, за якого камiнь перебуватиме на найбiльшiй висотi над поверхнею води. Його можна знайти, прочитавши значення y для максимального значення функцiї. Щоб знайти максимальне значення, зобрази графiк функцiї або скористайся диференцiюванням. Який би спосiб ти не обрав/обрала, найбiльша висота каменю становитиме 4.5 м. Отже, область значень

Rf = [0, 4.5] .

Теорiя

Асимптоти, область визначення i область значень

  • Вертикальна асимптота перетинає вiсь x. Математичний спосiб запису вертикальної асимптоти — x = a, де a — це число, в якому вертикальна асимптота перетинає вiсь x. Область визначення функцiї з вертикальною асимптотою не мiстить a.

  • Горизонтальна асимптота перетинає вiсь y. Математичний спосiб запису горизонтальної асимптоти — y = a, де a — це число, в якому горизонтальна асимптота перетинає вiсь y-axis. Область значень функцiї з горизонтальною асимптотою не мiстить a.

Приклад 2

Знайди область визначення i область значень для f(x) = 2x + 3 x 1

Щоб знайти область визначення Df, поглянь на значення x, за яких функцiя має сенс, тобто для яких можна пiдставити значення x i знайти вiдповiдь. Як ми знаємо, знаменник дробу не може дорiвнювати нулю. Через це функцiя не визначена для значення x, у знаменнику якого виходить 0. Отже, отримуємо

x 1 = 0 x = 1.

Тодi область визначення — це всi значення x, окрiм значення x вертикальної асимптоти, у цьому випадку x = 1. Математично записуємо це так:

Df = {1} .

Щоб знайти область значень Rf, потрiбно знайти горизонтальну асимптоту. Тобто область значень — це всi дiйснi числа, крiм горизонтальної асимптоти. Оскiльки f описує гiперболу (як бачимо з функцiї), то знаходимо горизонтальну асимптоту за формулою

y = a c.

Отримуємо

y = 2 1 = 2.

Тодi область значень вiдповiдатиме усiм дiйсним числам, окрiм значення y горизонтальної асимптоти, у цьому випадку y = 2. Математично записуємо це так:

Rf = {2} .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!