Hvordan faktorisere andregradsuttrykk

Faktorisering av andregradsuttrykk skjer ved hjelp av nullpunktene til funksjonen $f (x)$ . For å finne nullpunktene løser du likningen $f (x) = 0$ . Dette kan du gjøre ved hjelp av hvilken som helst av disse tre metodene:

1.: Ved $a b c$ -formelen;
2.: Ved fullføring av kvadratet;
3.: Ved inspeksjon. Inspeksjon vil si at du leter etter hvilke løsninger som passe med uttrykket.

Regel

Faktorisering av andregradsuttrykk

Du finner nullpunktene $x_{1}$ og $x_{2}$ til uttrykket. Faktoriseringen blir da som følger:

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Dersom likningen bare har én løsning $x_{1}$ , er det fordi $x_{1} = x_{2}$ . Da blir faktoriseringen

a {(x - x_{1})}^{2} .

Hvis likningen ikke har løsninger, kan du ikke faktorisere uttrykket.

Eksempel 1

$a b c$ -formel; to reelle løsninger

Faktoriser $f (x) = x^{2} + 11 x + 30$

Bruk $a b c$ -formelen med $a = 1$ , $b = 11$ og $c = 30$ og finn

\begin{array}{l} x & = \frac{- 11 \pm \sqrt{1 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm 1}{2}, \end{array}

så

x_{1} = - 5 x_{2} = - 6 .

Faktoriseringen blir dermed

1 \cdot (x - (- 5)) (x - (- 6)) = (x + 5) (x + 6) .

Eksempel 2

Fullføre kvadratet; to reelle løsninger

Faktoriser $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$

\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 8 & = x^{2} - 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} + 8 \\ = \underset{Andre kvadratsetning}{\underset{⏟}{x^{2} - 6 x + 3^{2}}} - 3^{2} + 8 \\ = {(x - 3)}^{2} - 9 + 8 \\ = {(x - 3)}^{2} - 1 \\ = \underset{Konjugatsetningen}{\underset{⏟}{{(x - 3)}^{2} - 1^{2}}} \\ = ((x - 3) - 1) ((x - 3) + 1) \\ = (x - 4) (x - 2) \end{array}

For å faktorisere et polynom ved å fullføre kvadratet må vi både bruke en kvadratsetning for å fullføre kvadratet og konjugatsetningen for å avslutte faktoriseringen.

Eksempel 3