House of Math-logo

Hvordan faktorisere andregradsuttrykk

Faktorisering av andregradsuttrykk skjer ved hjelp av nullpunktene til funksjonen f (x). For å finne nullpunktene løser du likningen f (x) = 0. Dette kan du gjøre ved hjelp av hvilken som helst av disse tre metodene:

1.
Ved abc-formelen;
2.
Ved fullføring av kvadratet;
3.
Ved inspeksjon. Inspeksjon vil si at du leter etter hvilke løsninger som passe med uttrykket.

Regel

Faktorisering av andregradsuttrykk

Du finner nullpunktene x1 og x2 til uttrykket. Faktoriseringen blir da som følger:

ax2 + bx + c = a (x x 1) (x x2) .

Dersom likningen bare har én løsning x1, er det fordi x1 = x2. Da blir faktoriseringen

a (x x1) 2.

Hvis likningen ikke har løsninger, kan du ikke faktorisere uttrykket.

Eksempel 1

abc-formel; to reelle løsninger

Faktoriser f (x) = x2 + 11x + 30

Bruk abc-formelen med a = 1, b = 11 og c = 30 og finn x = 11 ±112 4 1 30 2 1 = 11 ±121 120 2 = 11 ±1 2 = 11 ± 1 2 ,

x1 = 5x2 = 6.

Faktoriseringen blir dermed

1 (x (5)) (x (6)) = (x + 5) (x + 6) .

Eksempel 2

Fullføre kvadratet; to reelle løsninger

Faktoriser f (x) = x2 6x + 8

x2 6x + 8 = x2 6x + (6 2) 2 (6 2) 2 + 8 = x2 6x + 32 Andre kvadratsetning 32 + 8 = (x 3) 2 9 + 8 = (x 3) 2 1 = (x 3) 2 12 Konjugatsetningen = ( (x 3) 1) ( (x 3) + 1) = (x 4) (x 2) For å faktorisere et polynom ved å fullføre kvadratet må vi både bruke en kvadratsetning for å fullføre kvadratet og konjugatsetningen for å avslutte faktoriseringen.

Eksempel 3

Gjenkjenne fullstendig kvadrat; én reell løsning

Faktoriser f (x) = x2 2x + 1

x2 2x + 1 = x2 2 1 x + 12 Andre kvadratsetning = (x 1) 2

Dersom en andregradslikning kun har én reell løsning, vil polynomet være et fullstendig kvadrat, og vi kan prøve å gjenkjenne dette.

Eksempel 4

abc-formel; én reell løsning

Faktoriser f (x) = x2 + 8x + 16

Bruk abc-formelen med (a = 1), (b = 8) og (c = 16) og finn x = 8 ±82 4 1 16 2 1 = 8 ±64 64 2 = 8 ± 0 2 = 4.

Siden vi bare har én løsning blir faktoriseringen

1 (x (4)) 2 = (x + 4) 2

Eksempel 5

abc-formel; ingen reell løsning

Faktoriser f (x) = 4x2 + 2x + 1

x = 2 ±22 4 4 1 2 1 = 2 ±4 16 2 = 2 ±12 2 Negativt tall under roten betyr at likningen ikke har noen reelle løsninger. Du kan derfor ikke faktorisere uttrykket.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Hvordan løse andregradslikninger