Hvordan løse andregradslikninger

Andregradslikninger er likninger på formen

ax2 + bx + c = 0.

Uttrykket ax2 + bx + c kalles for et polynom av andre grad fordi den største eksponenten er 2. Det er fire metoder for å løse andregradslikninger ved regning:

1.
abc-formelen,
2.
løsing av andregradslikning der c = 0,
3.
løsing av andregradslikning der b = 0,
4.
løsing av andregradslikninger ved inspeksjon.

Svaret på disse metodene vil alltid være nullpunktene til funksjonen.

Formel

abc-formelen

Kan brukes på alle andregradslikninger

x = b ±b2 4ac 2a

Andregradslikninger har enten ingen løsning, én løsning eller to reelle løsninger.

  • b2 4ac < 0 ingen reell løsning,

  • b2 4ac = 0 én reell løsning,

  • b2 4ac > 0 to reelle løsninger.

Eksempel 1

Løs likningen x2 + 11x = 30

Først må du få alle leddene over på den ene siden slik at du får 0 på den andre siden:

x2 + 11x = 30 x2 + 11x + 30 = 0

Du bruker nå abc-formelen med a = 1, b = 11 og c = 30:

x = 11 ± (11 ) 2 4 1 30 2 1 = 11 ±121 120 2 = 11 ±1 2 = 11 ± 1 2

Lag en likning med pluss foran rottegnet og en likning med minus foran rottegnet:

x1 = 11 + 1 2 x2 = 11 1 2 = 10 2 = 12 2 = 5 = 6

Svaret du får er dermed x1 = 5 og x2 = 6.

Regel

Løsing av andregradslikning der c = 0

Uttrykket ser da ut som følger:

ax2 + bx = 0
1.
Faktorisere ved å sette utenfor en parentes slik at du får et gangestykke på formen p q = 0.
2.
Du kan dermed bruke følgende fremgangsmåte: p q = 0 p = 0 eller q = 0.

Eksempel 2

Løs likningen 2x2 + 4x = 0

Vi faktoriserer ut 2x:

2x (x + 2) = 0.

Du lager nå en likning for hver faktor:

2x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = 2

Svaret du får er dermed x1 = 0 og x2 = 2.

Regel

Løsing av andregradslikning der b = 0

Uttrykket ser da ut som følger:

ax2 + c = 0
1.
Du flytter konstanten c over på den andre siden.
2.
Nå deler du på a.
3.
Så tar du kvadratroten på begge sider av likhetstegnet.
4.
Da får du én positiv og én negativ løsning.

Eksempel 3

3x2 27 = 0 3x2 = 27| : 3 x2 = 9 x = ±3

Regel

Løsing av andregradslikninger ved inspeksjon

Du har ax2 + bx + c = 0. Når du løser ved inspeksjon følger du to regler, disse er:

c = p q, b = p + q.

der x1 = p og x2 = q alltid vil være x-verdiene til nullpunktene til uttrykket, og dermed svaret på likningen.

Eksempel 4

Løs likningen x2 x 56 = 0

Her ser du at b = 1 og c = 56. Du skal finne en verdi for p og en verdi for q for å finne svaret på likningen. Det er flere gangestykker som har 56 som svar:

(2 28) = 56, (4 14) = 56 (7 8) = 56

er noen av dem. Siden alle produktene passer til 56, så er dette svarkandidater. Du må nå velge det produktet som gjør at differansen mellom faktorene blir negativ, siden du leter etter svaret 1 som er et negativt tall. Det er lett å se at:

2 28 = 26 1 4 14 = 10 1 7 8 = 1

og dermed vet du at p = 7 og q = 8 passer med likningen. Ut ifra formelen ser du dermed at

x1 = 7 og x2 = (8) = 8,

siden du må bytte fortegn for å finne svaret på likningen.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!