Hvordan løse ulikheter av høyere grad

Først må du flytte alle leddene over på venstre side. Deretter må du faktorisere tredjegraduttrykket $P$ på venstre side. Det gjør du ved å gjette på løsning. Når du skal gjette på løsning er det naturlige prøve $x=1,-1,2,-2,\dots$ Ved å sette inn disse verdiene i tredjegraduttrykket finner du at $P(1)=0$, slik at $x=1$ er en løsning. Nå polynomdividerer du uttrykket $P(x)$ med $x-1$ og finner at løsningen blir en andregradslikning. Her følger regningen:

$$\begin{array}{llll}\hfill x^3+6x^2-6& >2x^2-x& \hfill & \\ \hfill x^3+6x^2-6-2x^2+x& >0& \hfill & \\ \hfill x^3+4x^2+x-6& >0& \hfill & \end{array}$$

Du må løse denne ulikheten som en likning. Det gjør du ved å sette uttrykket lik null. Det er nå du gjetter på løsning. Sjekker først $x=1$:

$$\begin{array}{llll}\hfill P(1)& ={(1)}^3+4{(1)}^2+(1)-6& \hfill & \\ \hfill & =1+4+1-6& \hfill & \\ \hfill & =0.& \hfill & \end{array}$$

Her hadde du flaks, siden du kun måtte teste én mulig løsning. Du har nå funnet løsningen $x=1$. Nå polynomdividerer du uttrykket med $x=1$:

Nå må du faktorisere svaret på polynomdivisjonen. Det gjør du ved å løse andregradslikningen og sette svarene inn i faktoriseringsformelen $a(x-x_1)(x-x_2)$. Her er $x_1$ og $x_2$ svarene på andregradslikningen. Ved inspeksjon ser du at

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$

Dermed blir faktoriseringen av tredjegraduttrykket

Lag fortegnslinjer for hver faktor i uttrykket

og avgjør hvor $x^3+4x^2+x-6$ er positiv og negativ. Siden du skal finne området der $x^3+6x^2-6>2x^2-x$, leser du av området der fortegnslinjene er heltrukne.

Av fortegnslinjene ser du at

$$x^3+6x^2-6>2x^2-x$$

for alle verdier av

$$x\in ⟨-3,-2⟩\cup ⟨1,\to ⟩.$$