Drøfting av logaritmefunksjon

Her kommer en oppskrift for å drøfte en logaritmefunksjon:

Regel

Drøfting av logaritmefunksjoner

1.: Finn definisjonsmengden.
2.: Finn nullpunktene.
3.: Finn topp- og bunnpunktene.
4.: Finn vendepunktet.

Eksempel 1

Drøft funksjonen $f (x) = \ln (2 x^{2} - 2)$

1.

Først finner du definisjonsmengden

D_{f}

. Dette gjør du ved å finne området der argumentet til funksjonen, det som står inne i logaritmen, er større enn null. Du setter uttrykket lik 0 for å finne nullpunktene, deretter bruker du fortegnslinjer til å finne intervallene.

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 2 & = 0 \\ 2 (x^{2} - 1) & = 0 \\ 2 (x - 1) (x + 1) & = 0 \end{array}

Fortegnslinjene blir dermed:

Fortegnsskjema for argumentet til f(x).

Området der argumentet er $> 0$ er $⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, \to ⟩$ og dette er definisjonsområdet $D_{f}$ .

2.

Finn nullpunktet ved å sette

f (x) = 0

\begin{array}{l} \ln (2 x^{2} - 2) & = 0 \\ e^{\ln (2 x^{2} - 2)} & = e^{0} \\ 2 x^{2} - 2 & = 1 \\ 2 x^{2} & = 3 | : 2 \\ x^{2} & = \frac{3}{2} \\ \sqrt{x^{2}} & = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \\ x & = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}

Nullpunktene er dermed $(- \sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ og $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ .

3.

Finn topp- og bunnpunktene ved å sette

f^{'} (x) = 0

. Finn først den deriverte

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = \frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x) \\ = \frac{4 x}{2 x^{2} - 2} \\ = \frac{4 x}{2 (x^{2} - 1)} \\ = \frac{2 x}{x^{2} - 1} \end{array}

Sett uttrykket lik 0:

\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} - 1} & = 0 \\ \Rightarrow 2 x & = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}

\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} - 1} = 0 \Rightarrow 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}

Siden

x = 0

ligger utenfor definisjonsområdet har ikke denne funksjonen topp- eller bunnpunkter.

4.

Finn vendepunktet ved å sette

f^{″} (x) = 0

. Finn først den andrederiverte ved å derivere

f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 1}

\begin{array}{l} f^{″} (x) & = \frac{2 (x^{2} - 1) - 2 x \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \\ = \frac{2 x^{2} - 2 - 4 x^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{- 2 (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} \end{array}

Sett uttrykket lik 0:

\frac{- 2 (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0

Her må du sette telleren lik 0:

\begin{array}{l} - 2 (x^{2} + 1) & = 0 \\ - 2 x^{2} - 2 & = 0 \\ - 2 x^{2} & = 2 | : - 2 \\ x^{2} & = - 1 \end{array}

Denne likningen har ingen reelle løsninger. Siden du ikke har noen reelle løsninger har ikke denne funksjonen noen vendepunkter. Dette er også tilfellet dersom løsningen hadde ligget utenfor definisjonsområdet. Årsaken til dette er: For at et vendepunkt skal finnes må funksjonen går fra konveks til konkav eller fra konkav til konveks, og det gjør ikke logaritmefunksjonene.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Funksjonsdrøfting av polynomfunksjoner

Neste oppslag

Drøfting av potensfunksjon

Tilbake