Hva er ettpunktsformelen?

En rett linje er definert ved to punkter, eller ved ett punkt og stigningen til linjen. Det finnes en genial formel som lar deg finne formelen for en rett linje ved hjelp av ett punkt og stigningstallet til linjen.

Formel

Ettpunktsformelen

Formelen som definerer linjen med stigning $a$ gjennom punktet $(x_{1}, y_{1})$ er

y - y_{1} = a (x - x_{1})

Løs likningen med hensyn på $y$ og uttrykket vil se ut som funksjonsuttrykket for en rett linje $y = a x + b$ .

Eksempel 1

Finn funksjonsuttrykket gjennom $(2, 5)$ med stigningstall 3

Sett rett inn i ettpunktsformelen og løs likningen:

\begin{array}{l} y - 5 & = 3 (x - 2) \\ y & = 3 x - 6 + 5 = 3 x - 1 \end{array}

Eksempel 2

Finn uttrykket for den rette linjen gjennom punktene $(- 3, 9)$ og $(3, - 9)$

Først finner du stigningstallet:

a = \frac{- 9 - 9}{3 - (- 3)} = - \frac{18}{6} = - 3 .

Deretter velger du ett av punktene i oppgaven og setter det sammen med stigningstallet inn i ettpunktsformelen:

\begin{array}{l} y - (- 9) & = - 3 (x - 3) \\ y + 9 & = - 3 x + 9 \\ y & = - 3 x \end{array}

Siden $b = 0$ vet du at linjen går igjennom origo. Uttrykket for den rette linjen er

y = - 3 x .

Hvis du vet funksjonsuttrykket for $f (x)$ , så kan du bruke ettpunktsformelen for å finne likningen for tangentlinja i et punkt på grafen til $f (x)$ . Dette er fordi stigningstallet til tangenten er lik verdien til den deriverte til funksjonen $f (x)$ i samme punkt.

Formel

Likningen for en vilkårlig tangent

y - y_{1} = f^{'} (x_{1}) (x - x_{1}),

der $(x_{1}, y_{1})$ er et punkt på tangenten (ofte tangeringspunktet) og $f^{'} (x_{1})$ er stigningstallet i punktet. Når du setter inn i formelen må du alltid løse for $y$ , det vil si $y$ alene på én side.

Eksempel 3

Gitt funksjonen $f (x) = x^{2} + 3 x - 2$ . Finn likningen for tangenten i $x = 3$ .

For å fylle inn i likningen trenger du verdier for $f^{'} (x_{1})$ og $y_{1}$ . Du vet at $x_{1} = 3$ , slik at du må finne $f^{'} (x)$ før du setter inn i funksjonen. Begynner med $f^{'} (x)$ : $\begin{array}{l} f^{'} (x) & = 2 x + 3 \\ f^{'} (x_{1}) & = f^{'} (3) = 2 (3) + 3 = 9 \\ y_{1} & = f (x_{1}) = f (3) = {(3)}^{2} + 3 (3) - 2 = 16 \end{array}$