House of Math-logo

Delvis integrasjon

Delvis integrasjon er produktregelen baklengs. Formelen er slik:

Formel

Delvis integrasjon

uvdx = uv uvdx

NB! I oppgaver med delvis integrasjon bør du sette ex som v og ln(x) som u.

Eksempel 1

3xexdx = 3xex 3exdx = 3xex 3ex + C = 3ex(x 1) + C

*

u = 3xv = ex u = 3 v = ex

Eksempel 2

Finn funksjonen F slik at F(x) = 4x3 + 1 x og F(1) = 2

F(x) = 4x3 + 1 xdx = x4 + ln |x| + C

Videre bruker du at F(1) = 2: 2 = F(1) = 14 + ln |1| + C = 1 + 0 + C, C = 1.

Dermed er F(x) = x4 + ln |x| + 1.

Eksempel 3

Regn ut integralet sin 2xdx

sin 2xdx = sin x sin xdx = sin x cos x + cos 2xdx = sin x cos x + 1 sin 2xdx = sin x cos x + x sin 2xdx

sin 2xdx = sin x sin xdx = sin x cos x + cos 2xdx = sin x cos x + 1 sin 2xdx = sin x cos x + x sin 2xdx

*

u = sin xv = sin x u = cos xv = cos x

Dette gir deg en likning som du løser for sin 2xdx:

sin 2xdx = sin x cos x + x sin 2xdx 2 sin 2xdx = sin x cos x + x| : 2 sin 2xdx = 1 2 sin x cos x + x 2 + C

sin 2xdx = sin x cos x + x sin 2xdx 2 sin 2xdx = sin x cos x + x| : 2 sin 2xdx = 1 2 sin x cos x + x 2 + C

Eksempel 4

Regn ut cos(2x) sin(2x)dx

= cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x) sin(2x) cos(2x)dx

cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x) sin(2x) cos(2x)dx

*

u = cos(2x) v = sin(2x) u = 2 sin(2x)v = 1 2 cos(2x)

Dette uttrykket løser du nå som en likning med hensyn på cos(2x) sin(2x)dx:

cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x) sin(2x) cos(2x)dx 2 cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x)| : 2 cos(2x) sin(2x)dx = 1 4 cos 2(2x) + C

cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x) sin(2x) cos(2x)dx 2 cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x)| : 2 cos(2x) sin(2x)dx = 1 4 cos 2(2x) + C

Eksempel 5

Regn ut ex (x2 + 3x 4) dx

= ex (x2 + 3x 4) dx = ex (x2 + 3x 4) ex(2x + 3)dx = ex (x2 + 3x 4) (ex(2x + 3) 2exdx ) = ex (x2 + 3x 4) ex(2x + 3) + 2ex + C = ex (x2 + x 5) + C

ex (x2 + 3x 4) dx = ex (x2 + 3x 4) ex(2x + 3)dx = ex (x2 + 3x 4) (ex(2x + 3) 2exdx) = ex (x2 + 3x 4) ex(2x + 3) + 2ex + C = ex (x2 + x 5) + C

*

u = x2 + 3x 4v = ex u = 2x + 3 v = ex

**

z = 2x + 3w = ex z = 2 w = ex

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Det ubestemte integralet
Neste oppslagPil som peker til høyre
Substitusjon