House of Math-logo

Binomisk fordeling

Binomisk fordeling er en av de aller snilleste fordelingen med tanke på strukturering og regning. Her kommer det du trenger å vite for å kunne velge en binomisk tilnærming ved et forsøk:

Regel

Kriterier for bruk av binomisk fordeling

En tilfeldig variabel X er binomisk fordelt og skal modelleres etter binomisk formel dersom disse punktene er oppfylt:

1.
Det er n delforsøk.
2.
I hvert delforsøk har du to muligheter, suksess og feil.
3.
Hvert delforsøk har sannsynligheten p for suksess.
4.
Delforsøkene er uavhengige.
5.
X er det totale antallet suksesser i delforsøkene.

Regel

Binomisk fordeling

Sannsynlighetene for å få eksakt k suksesser av de n mulige er

P (X = k) = (n k )pk(1 p)nk.

Her er n totalt antall delforsøk, k er antall suksesser du vil ha og p er sannsynligheten for suksess i ett delforsøk.

Eksempel 1

Du kaster fire terninger og ser etter antall 6-ere. Den tilfeldige variabelen blir dermed

X = antall 6-ere ved kast med 4 terninger

Når du da kaster en terning er den enten en 6-er, eller så er den ikke en 6-er. Kall hver 6-er suksess. Forsøket er da binomisk fordelt med

p = 1 6 og n = 4

Du kan nå regne ut sannsynligheten for å få enten k = 0, k = 1, k = 2, k = 3 eller k = 4 6-ere.

Du gjør det med formelen over og lager følgende tabell:







k 0 1 2 3 4






P (X = k ) 0, 48 0, 39 0, 12 0, 02 0, 0008






Dette er sannsynlighetsfordelingen til X.

NB! Summen av sannsynlighetene i en sannsynlighetsmodell er alltid lik 1.

Eksempel 2

Ruter øker i disse dager antall billettkontroller. De regner med at 1 av 5 reiser uten billett. Hvis de kontrollerer 20 vilkårlige personer, hva er sannsynligheten for at

1.
Én av de 20 ikke har billett?
2.
Fem av de 20 ikke har billett?
3.
Minst tre av de 20 ikke har billett?

1 av 5 sniker, slik at ikke billett er det du skal undersøke. Du får dermed at

p = 1 5 = 0,2.

Dette er derfor en binomisk fordeling med n = 20 og p = 0,2.

1.
Først vil du finne ut sannsynligheten for at nøyaktig én av de 20 ikke har billett. Da er k = 1, og du setter inn i formelen og får P (X = 1) = (20 1 ) p1(1 p)201 = 20 0,2 0,819 0,06.

Altså er sannsynligheten for at nøyaktig én av de 20 ikke har billett omtrent 6 %.

2.
Så vil du finne ut sannsynligheten for at nøyaktig fem av de 20 ikke har billett. Da er k = 5, og du setter inn i formelen og får P (X = 5) = (20 5 ) p5(1 p)205 = 15504 0,25 0,815 0,17

Altså er sannsynligheten for at nøyaktig fem av de 20 ikke har billett omtrent 17 %.

3.
Til slutt vil du regne ut sannsynligheten for at minst tre av de 20 ikke har billett. Det vil si at 3, 4, 5 og opp til 20 ikke har betalt. Siden dette er veldig mange utfall å regne sannsynligheten til kan det være lurt å vurdere komplementet. Det er det samme som å si at hendelsen «0, 1 eller 2 av de 20 ikke har billett» ikke inntreffer. Altså at
P (X 3) = 1 P (X = 0, 1 eller 2)

For å regne ut P (X = 0, 1 eller 2) må du legge sammen P (X = 0) ,P (X = 1) og P (X = 1), så først regner du ut disse med den samme formelen som du brukte i Punktene 2 og 3.

  • P (X = 0) = (20 0 ) 0,20 (1 0,2)200 = 0,820 0,01
    P (X = 0) = (20 0 ) 0,20(1 0,2)200 = 0,820 0,01
  • P (X = 1) regnet du ut i Punkt 2, så P (X = 1) = 0,06.

  • P (X = 2) = (20 2 ) 0,22 (1 0,2)202 0,14
    P (X = 2) = (20 2 ) 0,22(1 0,2)202 0,14

Dermed ser du at

P (X = 0, 1 eller 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 3) = 0,21

P (X = 0, 1 eller 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 3) = 0,21

Da kan du endelig regne ut
P (X 3) = 1 P (X = 0, 1 or 2) = 0,79,

P (X 3) = 1 P (X = 0, 1 or 2) = 0,79,

Altså er sannsynligheten for at minst tre av de 20 ikke har billett omtrent 79 %.

Eksempel 3

Jo Nesbø deltar på en quiz med 50 spørsmål der hvert spørsmål har fire svaralternativer. Dessverre har Jo glemt å forberede seg, så han må gjette på hvert eneste spørsmål.

1.
Dersom han svarer rett alle spørsmålene, vinner han en tur til New York. Hva er sannsynligheten for at Jo Nesbø klarer å svare rett alle 50 spørsmålene?
2.
Dersom han svarer rett akkurat 30 spørsmål, vinner han en tur til Svalbard. Hva er sannsynligheten for at han vinner turen til Svalbard?
3.
Alle de som svarer rett minst fem spørsmål, får gratis inngang til Norsk teknisk museum. Hva er sannsynligheten for at Jo Nesbø vinner får gratis inngang til Norsk teknisk museum?

Sannsynligheten for å gjette riktig på et spørsmål med fire alternativer er 1 4 = 0,25 = 25%.

1.
Siden det er 50 spørsmål i quizen er n = 50. Jo må ha alt riktig slik at k = 50. Dermed får du at
P (X = k) = (n k )pk(1 p)nk

blir som dette: P (X = 50) = (50 50) 0,2550 (1 0,25)5050 = 1 0,2550 0,750 7,89 1031.

Stakkars Jo kommer seg neppe til New York!

2.
Siden det er 50 spørsmål i quizen er n = 50. Jo må ha 30 riktige spørsmål slik at k = 30.
P (X = 30) = (50 30) 0,2530 (1 0,25)20 1,30 107,

P (X = 30) = (50 30) 0,2530 (1 0,25)20 1,30 107,

Dermed ser det også mørkt ut for Svalbardturen hans.
3.
Minst fem spørsmål betyr at 5, 6, 7, og opp til 50 spørsmål må besvares riktig. Du må derfor finne sannsynligheten for at X 5. Dette er det samme som sannsynligheten for at X ikke er 0, 1, 2, 3 eller 4. Du kan derfor bruke regelen for komplementære hendelser P (A) = 1 P (A¯) og regne ut
P (X 5) = 1 (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) )

P(X 5) = 1 (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) )

Du må nå bruke binomialformelen og regne ut de ulike sannsynlighetene. Da får du dette: P (X = 0) = (50 0 ) 0,250 (1 0,25)50 5,66 107 P (X = 1) = (50 1 ) 0,251 (1 0,25)49 9,43 106 P (X = 2) = (50 2 ) 0,252 (1 0,25)48 7,7 105 P (X = 3) = (50 3 ) 0,253 (1 0,25)47 4,1 104 P (X = 4) = (50 4 ) 0,254 (1 0,25)46 1,60 103

Summen av disse sannsynlighetene er:

0,002.

Setter du dette inn i uttrykket over får du at

P (X 5) 1 0,002 = 0,998.

Heldigvis har Jo en tur til Norsk teknisk museum å se frem til!

Dersom datasettet i en binomisk fordeling blir stort så vil datasettet følge en normalfordeling isteden for den binomiske fordelingen. I disse tilfellene kan du bruke disse formlene:

Regel

Forventning, varians og standardavvik for binomisk fordeling

Den binomiske fordelingen har forventning, varians og standardavvik: E (X) = μ = np Var (X) = σ2 = np(1 p) SD (X) = σ = np(1 p)

Dersom Var (X) > 5, er X tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi np og standardavvik np(1 p).

En tommelfingerregel er at dersom np og n(1 p) er minst lik 10, så vil X være tilnærmet normalfordelt.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Tilfeldige variabler, hendelser og utfall
Neste oppslagPil som peker til høyre
Pascals trekant