Geometriske rekker

Geometriske rekker er rekker der du må multiplisere med en bestemt kvotient $k$ for å komme til neste leddet i rekken. De kan brukes til å modellere alt fra utviklingen av en bakteriekultur til lån og sparing. Det som er fint med geometriske rekker er at de er svært oversiktlige og at alle oppgavene kan løses ved hjelp av tre formler. Her kommer de:

Formel

Geometriske rekker

Å finne kvotienten i rekken:

k = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

Å finne det $n$ -te leddet i rekken:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}

Å finne summen av rekken:

S_{n} = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1} for k \neq 1

Dersom $k = 1$ bruker du denne formelen til å finne summen:

S_{n} = a_{1} \cdot n

Eksempel 1

Du har den geometriske rekken

3 + 9 + 27 + 81 + \dots

Finn kvotienten, et uttrykk for det $n$ -te leddet og summen av de første 10 leddene.

I oppgaver som dette kan du sette rett inn i formlene. Kvotienten blir dermed:

k = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{9}{3} = 3

Uttrykket for det $n$ -te leddet blir:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} = 3 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n}

Da får du at summen av de 10 første leddene blir

S_{10} = 3 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3 - 1} = 88 572

Eksempel 2

Finn $a_{1}$ og $k$ når du vet at $a_{3} = 4$ og $a_{5} = 16$ er to ledd i en voksende geometrisk rekke

Så lenge du blir gitt to ledd lønner det seg å løse oppgaven ved hjelp av to likninger med to ukjente. Du vet at formelen for et vilkårlig ledd i en geometrisk rekke er gitt ved $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$ . Dermed får du:

\begin{array}{l} a_{3} & = 4 \\ a_{1} \cdot k^{3 - 1} & = 4 \\ a_{1} \cdot k^{2} & = 4 \\ a_{1} & = \frac{4}{k^{2}} \\ a_{5} & = 16 \\ a_{1} \cdot k^{5 - 1} & = 16 \\ a_{1} \cdot k^{4} & = 16, a_{1} = \frac{4}{k^{2}} \\ \Rightarrow (\frac{4}{k^{2}}) \cdot k^{4} & = 16 \\ 4 k^{2} & = 16 | : 4 \\ k^{2} & = 4 \\ k & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ \Rightarrow a_{1} & = \frac{4}{{(\pm 2)}^{2}} = 1 . \end{array}

\begin{array}{l} a_{3} & = 4 & a_{5} & = 16 \\ a_{1} \cdot k^{3 - 1} & = 4 & a_{1} \cdot k^{5 - 1} & = 16 \\ a_{1} \cdot k^{2} & = 4 & a_{1} \cdot k^{4} & = 16 \\ a_{1} & = \frac{4}{k^{2}} & (\frac{4}{k^{2}}) \cdot k^{4} & = 16 \\ 4 k^{2} & = 16 | : 4 \\ k^{2} & = 4 \\ k & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ a_{1} & = \frac{4}{{(\pm 2)}^{2}} = 1 . \end{array}

Siden rekken er voksende så kan ikke

k = - 2

være riktig. Dette er en falsk løsning. Du har dermed at

a_{1} = 1

k = 2

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Tallrekker og serielån

Neste oppslag

Uendelige geometriske rekker og konvergensområder

Tilbake