Hva er rekker i matematikk?

Rekker er et svært kraftfullt verktøy blant annet innen finans. Bankene bruker rekketeori for å beregne lån, sparing og investeringer, så vel som verdien av pengestrømmer. Det å forstå de grunnleggende prinsippene ved rekker, gir deg litt mer innsikt i hvordan den økonomiske delen av livet arter seg.

Teori

Rekker

En rekke er en oppramsing av tall der tallene skilles med pluss eller minus. Du kan også tenke på en rekke som en følge der du bytter kommaene med pluss eller minus. Generelt ser rekker ut som dette:

a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} + \dots

der $n$ er plassnummeret og $a_{n}$ er selve tallet på plassen.

Når du regner ut summen av en rekke kan det bli svært slitsomt å skrive ut rekken dersom den er lang. Matematikere har derfor funnet en måte å gjøre dette mye lettere ved å innføre den greske bokstaven sigma $\sum$ . Du kan skrive summen av en rekke på følgende måte:

Teori

Summetegnet $\sum$

Summen av de $n$ første leddene i en tallrekke kan skrives på følgende måte:

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}

der $S_{n}$ er summen av $n$ ledd, $i = 1$ forteller at du skal begynne å telle fra ledd nummer 1, $n$ viser hvilket ledd du skal stoppe ved og $a_{i}$ er formelen du skal summere $n$ ganger.

Når det er snakk om uendelige rekker, vil du oppdage at det ofte stilles spørsmål til hva som skjer med summen til rekken. Vil leddene i rekken bli så små til slutt at uansett hvor mange ledd du legger til så blir summen av dem et bestemt tall, eller vil leddene i rekken være store at summen av dem blir uendelig stor? I matematikken kalles de to tilfellene henholdsvis konvergens og divergens. Generelt har du at:

Teori

Konvergens og divergens

Konvergens:: Summen av rekken går mot et bestemt tall, når $n \to \infty$ .
Divergens:: Summen av rekken konvergerer ikke, ofte fordi den går mot $\pm \infty$ , når $n \to \infty$ .

Eksempel 1

Du har rekken der
$a_{1} = 3, a_{2} = 6, a_{3} = 9, \dots, a_{n} = 3 n, \dots$

Finn summen av de ti første leddene. Undersøk hva som skjer med summen når $n \to \infty$ .

For å finne summen av de ti første leddene bruker du summetegnet $\sum$ med $n = 10$ og $a_{i} = 3 i$ . Du får da at

\begin{array}{l} S_{10} & = \sum_{i = 1}^{10} 3 i \\ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \\ + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 3 \cdot 7 \\ + 3 \cdot 8 + 3 \cdot 9 + 3 \cdot 10 \\ = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 \\ + 21 + 24 + 27 + 30 \\ = 165 . \end{array}

\begin{array}{l} S_{10} & = \sum_{i = 1}^{10} 3 i \\ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 \\ + 3 \cdot 6 + 3 \cdot 7 + 3 \cdot 8 + 3 \cdot 9 + 3 \cdot 10 \\ = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 \\ = 165 . \end{array}

For å undersøke hva som skjer med summen når

n \to \infty

, lønner det seg å se på formelen for leddene, i dette tilfellet

a_{n} = 3 n

. Dette er leddene i 3-gangeren og disse vokser og blir større og større jo lenger ut i rekken du går. Du kan dermed konkludere at summen vokser og vokser, slik at den går over alle grenser når

n \to \infty

. Summen av rekken vil derfor divergere.

Eksempel 2

Du har rekken der

a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{1}{4}, a_{3} = \frac{1}{8}, \dots, a_{n} = \frac{1}{2^{n}}, \dots

Finn summen av de fem første leddene. Undersøk hva som skjer med summen når $n \to \infty$ .

For å finne summen av de fem første leddene bruker du summetegnet $\sum$ med $n = 5$ og $a_{i} = \frac{1}{2^{i}}$ . Du får da at

\begin{array}{l} S_{5} & = \sum_{i = 1}^{5} \frac{1}{2^{i}} \\ = \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{5}} \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \\ = \frac{1 \cdot 16}{2 \cdot 16} + \frac{1 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32} \\ = \frac{16 + 8 + 4 + 2 + 1}{32} \\ = \frac{31}{32} \end{array}

For å undersøke hva som skjer med summen når $n \to \infty$ , lønner det seg å se på formelen for leddene, i dette tilfellet $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ . Dette er ledd som avtar og blir mindre og mindre jo lenger ut i rekken du går. Det at leddene blir mindre og mindre betyr ikke nødvendigvis at summen av rekken konvergerer, men det betyr at det kan være en sjanse for at summen av rekken konvergerer. Hvordan du avgjør dette skal du se på i oppslaget om geometriske rekker. I dette tilfellet kan jeg avsløre at denne rekken avtar raskt nok til at summen av rekken blir ett tall, nemlig 1, og du kan dermed konkludere at summen av rekken er konvergent når $n \to \infty$ . Matematisk vil det se slik ut:

S = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{i}} = 1 .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Aritmetiske rekker

Tilbake

Rekker

Summetegnet ∑ ⁡

Konvergens og divergens

Summetegnet $\sum$