House of Math-logo

Aritmetiske rekker

Aritmetiske rekker er rekker der du må legge til en bestemt differanse d for å komme til det neste leddet i rekken. Det som er fint med aritmetiske rekker er at de er svært oversiktlige og at alle oppgavene kan løses ved hjelp av tre formler. Her kommer de:

Formel

Aritmetiske rekker

Å finne differansen i rekken:

d = an+1 an

Å finne det n-te leddet i rekken:

an = a1 + (n 1)d

Å finne summen av rekken:

Sn = a1 + an 2 n

Eksempel 1

Du har den aritmetiske rekken

2 + 4 + 6 + 8 +

Finn differansen, et uttrykk for det n-te leddet, og summen av de første 50 leddene.

For disse oppgavene kan du sette rett inn i formlene fra boksen om aritmetiske rekker. For å finne differansen bruker du to etterfølgende tall fra rekken. Da blir det som dette:

d = an+1 an = 4 2 = 2.

Uttrykket for det n-te leddet er gitt ved an = a1 + (n 1)d = 2 + (n 1) 2 = 2 + 2n 2 = 2n.

For å finne summen av de 50 første leddene må du først finne a50. Dette gjør du ved å sette rett inn i formelen for det n-te leddet der n = 50. Da får du:

a50 = 2 + (50 1) 2 = 2 + 49 2 = 100.

Du kan nå regne ut summen av de 50 første leddene:

S50 = 2 + 100 2 50 = 51 50 = 2550.

Eksempel 2

Du vet at ledd nummer 3 i en aritmetisk rekke er 7 og ledd nummer 6 er 12. Finn differansen d og det første leddet a1.

Dette er et klassisk tilfelle hvor du løser oppgaven ved hjelp av et likningssett. Du vet at formelen for det n-te leddet i en aritmetisk rekke er an = a1 + (n 1)d. Dersom du rydder opp i informasjonen fra oppgaven finner du at a3 = 7 og at a6 = 12. Dermed kan du bruke disse som utgangspunkt for de to likningene.

Først gir a3 = 7 at a1 + (3 1)d = 7, a1 + 2d = 7, a1 = 7 2d. (1)

Videre gir a6 = 12 at a1 + (6 1)d = 12, a1 + 5d = 12.

Du setter inn Likning (1) og får (7 2d) + 5d = 12, 3d = 5| : 3, d = 5 3.

Dette setter du inn igjen i Likning (1) og finner at

a1 = 7 2 5 3 = 21 3 10 3 = 11 3 .

Du har dermed funnet at a1 = 11 3 og d = 5 3.

Eksempel 3

Et telefonabonnement har en startpris 3 kroner, og en minuttpris 2 kroner per minutt. La an være prisen for en samtale n minutter. Finn en aritmetisk rekke for prisen abonnementet. Hva er differanse d? Finn et uttrykk for summen av rekken.

Dersom du ringer i ett minutt vil prisen være 3 + 2 1 = 5kr, dersom du ringer i to minutter vil prisen være 3 + 2 2 = 7kr, dersom du ringer i tre minutter vil prisen være 3 + 2 3 = 9kr, generelt har du da at en samtale på n minutter vil koste

3 + 2 n kroner.

Dette kan du ordne som en aritmetisk rekke der prisen for ett minutt er ledd a1, prisen for to minutter er ledd a2, prisen for tre minutter er ledd a3 og prisen for n minutter er ledd an. Den aritmetiske rekken er dermed:

5 + 7 + 9 + + (3 + 2 n)

Du ser at hvert ledd øker med 2, slik at differansen d = 2 (pris per minutt).

For å finne et uttrykk for summen av rekken setter du inn i formelen for summen av en aritmetisk rekke. Det blir som dette: Sn = a1 + an 2 n = 5 + (3 + 2 n) 2 n = 8 + 2n 2 n = 2 (4n + n2) 2 = 4n + n2

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Hva er rekker i matematikk?
Neste oppslagPil som peker til høyre
Tallrekker og serielån