Hva er aritmetiske tallfølger?

En tallfølge er tall som kommer i en bestemt rekkefølge, også kalt for tallmønster. De kan enten skrives som en liste med tall, adskilt med komma, eller tegnes som figurer. Tallfølger kan deles inn i to hovedtyper

1.: De som øker med et fast tall
2.: De som ikke øker med et fast tall

Tallfølger som øker med et fast tall har et kult navn og kalles aritmetiske tallfølger. Når du ser hva som skjer, skal du kunne finne en formel for et hvilket som helst ledd i tallfølgen. Tallfølgen

4, 7, 10, 13 \dots

er aritmetisk, siden den øker med 3 hver gang. Tallfølgen

1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots

øker ikke med samme tall, så den er ikke aritmetisk. Den følger et møster, som du sikkert klarer å se, men den øker ikke med det samme tallet hver gang.

Hvis du vet at tallfølgen er aritmetisk kan du følge denne oppskriften for å lage en formel for den. Vi sier ofte at vi skal finne en formel $f_{n}$ for det $n$ -te tallet i følgen. Det betyr bare at du skal lage en formel som hjelper deg til å finne det neste tallet.

Regel

Lage formel for aritmetisk tallfølge

1.: Finn ut hvor mye tallfølgen øker med. Dette er differansen til tallfølgen, $d$ .
2.: Finn det første tallet i tallfølgen, $f_{1}$ . Ta starttallet minus differansen, $f_{1} - d$ . Dette er konstantleddet ditt, $b$ .
3.: Skriv ut formelen som $f_{n} = d n + b$ .

Du skal bruke denne oppskriften på tallfølgen ovenfor.

Eksempel 1

Figurtallene
$4, 7, 10, 13, \dots$

kan komme fra følgende figur:

Hva er mønsteret?

Du bruker oppskriften ovenfor siden det øker med det samme tallet hver gang.

1.: Du regner og ser at økningen er $7 - 4 = 3$ hver gang. Da er differansen på $3$ .
2.: Du finner det første tallet i tallfølgen, $4$ , og trekker fra differansen, $4 - 3 = 1$ . Da er konstantleddet $1$ .
3.: Formel for følgen blir da: $f_{n} = 3 n + 1$ .

Denne formelen betyr at hvis du setter inn

1

for

n

så skal du få

4

, siden

4

er det første tallet. Setter du inn

2

skal du få

7

siden

7

er det andre tallet osv. Du tester formelen for

3

4

\begin{array}{l} f_{3} & = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \\ f_{4} & = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \end{array}

Du ser at formelen stemmer. Nå kan du bruke formelen til å finne mye større tall enn du hadde klart uten en formel. For eksempel så kan vi finne størrelsen til tall nummer 100:

f_{100} = 3 \cdot 100 + 1 = 301 .

Eksempel 2

Hva er mønsteret i denne tallfølgen?

100, 95, 90, 85, 80, \dots

Denne tallfølgen går nedover og ikke oppover i verdi. Differansen blir da negativ. Sjekk alle differansene.

\begin{array}{l} 100 - 95 & = 5 95 - 90 = 5 \\ 90 - 85 & = 5 85 - 80 = 5 \end{array}

Siden den synker med 5 mellom hvert ledd blir differansen $- 5$ . Det første tallet er $100$ . For å finne konstantleddet tar du startverdien og trekker fra differansen. Pass på nå siden differansen er negativ! Her må du kunne regne med negative tall