...

>Produkt og vektorregning>Skalarprodukt i to dimensjoner

Skalarprodukt i to dimensjoner

Skalarproduktet er en av de viktigste regneoperasjonene i vektorregningen. Mest av alt, fordi den viser om to vektorer står normalt ( $90$ °) på hverandre eller ikke. Når to vektorer står normalt på hverandre sies de å være ortogonale. Regelen er som følger:

Regel

Ortogonale vektorer

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}

Du har en ekvivalenspil mellom uttrykkene. Det gjør at du vet at dersom det ene er sant, så følger det andre konsekvent.

Det er to formler for å regne ut prikkproduktet (skalarproduktet). Den ene bruker du når du har vektorene på koordinatform, og den andre bruker når du vet lengden av vektorene og vinkelen mellom dem.

Formel

Skalarproduktet

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = [x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] \\ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \end{array}

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = [x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \end{array}

Eksempel 1

Avgjør om vektorene $[- 4, 5]$ og $[2, 3]$ er ortogonale

\begin{array}{l} [- 4, 5] \cdot [2, 3] & = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \\ = - 8 + 15 \\ = 7 \neq 0 \end{array}

[- 4, 5] \cdot [2, 3] = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = - 8 + 15 = 7 \neq 0

Siden prikkproduktet er ulik 0, vet du at vektorene ikke er ortogonale.

Eksempel 2

Finn skalarproduktet av vektorene $\vec{u}$ med lengde 3 og $\vec{v}$ med lengde 5, når vinkelen mellom dem er $α = 90 °$

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α \\ = 3 \cdot 5 \cdot \cos 90 ° \\ = 3 \cdot 5 \cdot 0 \\ = 0 \end{array}

Siden skalarproduktet er lik 0, vet du at

\vec{u}

og

\vec{v}

står normalt (

90

°) på hverandre.

Eksempel 3

Finn $t$ slik at $[- 2, 5]$ og $[2 t, 9]$ er ortogonale

For at to vektorer er ortogonale må prikkproduktet være lik 0.

\begin{array}{l} [- 2, 5] \cdot [2 t, 9] & = 0 \\ - 4 t + 45 & = 0 \\ t & = \frac{45}{4} \end{array}

For $t = \frac{45}{4}$ er vektorene ortogonale. Da blir vektoren

[2 t, 9] = [\frac{45}{2}, 9] .

Forrige oppslag

Parallelle vektorer

Vinkelen mellom to vektorer