Meny

...

>Vektorregning>Skalarproduktet i tre dimensjoner

Skalarproduktet i tre dimensjoner

Skalarproduktet er en av de viktigste formlene i vektorregningen. Mest av alt fordi den viser om to vektorer står normalt på hverandre eller ikke. Når to vektorer står normalt på hverandre sies de å være ortogonale. Regelen er som følger:

Regel

Skalarprodukt og ortogonalitet

Ortogonale vektorer er vektorer som står normalt ( $90$ °) på hverandre:

\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Du har en ekvivalenspil mellom uttrykkene. Det gjør at du vet at dersom det ene er sant, så følger det andre konsekvent.

Du har to formler for prikkproduktet (skalarproduktet), en for vektorkoordinater og en du bruker når vinkelen er oppgitt.

Formel

Skalarprodukt for vektorkoordinater

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}, z_{2}] \\ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} \end{array}

\vec{u} \cdot \vec{v} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}, z_{2}] = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

Formel

Skalarprodukt når vinkelen er oppgitt

\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v})

Eksempel 1

Avgjør om vektorene $[- 4, 5, 3]$ og $[2, 3, - 1]$ er ortogonale

\begin{array}{l} [- 4, 5, 3] \cdot [2, 3, - 1] \\ = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) \\ = - 8 + 15 - 3 \\ = 4 \\ \neq 0 . \end{array}

\begin{array}{l} [- 4, 5, 3] \cdot [2, 3, - 1] & = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) \\ = - 8 + 15 - 3 \\ = 4 \\ \neq 0 . \end{array}

Siden prikkproduktet ulik 0 vet du at vektorene ikke er ortogonale.

Eksempel 2

Finn skalarproduktet av vektorene $\vec{u}$ med lengde $| \vec{u} | = 3$ og $\vec{v}$ med lengde $| \vec{v} | = 5$ og vinkel $∠ (\vec{u}, \vec{v}) = 90 °$

\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos 90 ° = 3 \cdot 5 \cdot 0 = 0

Siden skalarproduktet er lik 0 vet du at $\vec{u}$ og $\vec{v}$ står normalt på hverandre, som stemmer overens med antagelsen om at vinkelen mellom dem er $90$ °.

Eksempel 3

Finn $t$ slik at $[- 2, 5, 2]$ og $[2 t, 9, - 1]$ er ortogonale

For at to vektorer er ortogonale må prikkproduktet være lik 0.

\begin{array}{l} [- 2, 5, 2] \cdot [2 t, 9, - 1] & = 0 \\ - 4 t + 45 - 2 & = 0 \\ t & = \frac{43}{4} \end{array}

For $t = \frac{43}{4}$ er vektorene ortogonale. Da blir vektoren

[2 t, 9, - 1] = [\frac{43}{2}, 9, - 1] .

Regel

Vinkelen mellom to vektorer

Vinkel $α$ mellom to vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ :

\cos α = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |}, α \in [0 °, 180 °]

Eksempel 4

Finn vinkelen mellom $\vec{u} = [3, 3, 3]$ og $\vec{v} = [2, 1, 6]$

Du begynner med å regne ut lengdene av de to vektorene:

\begin{array}{l} | \vec{u} | & = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{27}, \\ | \vec{v} | & = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 6^{2}} = \sqrt{41} . \end{array}

Deretter regner du ut skalarproduktet:

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = [3, 3, 3] \cdot [2, 1, 6] \\ = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 6 \\ = 27 \end{array}

\vec{u} \cdot \vec{v} = [3, 3, 3] \cdot [2, 1, 6] = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 6 = 27

Så setter du inn i formelen for å finne cosinus til vinkelen:

\begin{array}{l} \cos α & = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} \\ = \frac{27}{\sqrt{27} \cdot \sqrt{41}} \\ = \sqrt{\frac{27}{41}} \end{array}

Til sutt kan du bruke dette for å finne selve vinkelen:

α = \cos^{- 1} \sqrt{\frac{27}{41}} \approx 35, 76 ° .

Eksempel 5

La $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ og $\vec{v} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ , der $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er to relativt ukjente vektorer. Alt du vet er at $| \vec{a} | = 2$ , $| \vec{b} | = 3$ og vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $60 °$ . Hva er vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$ ?

Som i Eksempel 4 begynner du med å regne ut lengdene av de to vektorene. Denne gangen må du i tillegg bruke regler med å regne med skalarprodukt og parenteser, og spesielt at

\vec{a} \cdot \vec{a} = {\vec{a}}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} .

Husk at $\cos 60 ° = \frac{1}{2}$ . Du får at

\begin{array}{l} {| \vec{u} |}^{2} & = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2} \\ = {| \vec{a} |}^{2} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60 ° + {| \vec{b} |}^{2} \\ = 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + 3^{2} \\ = 4 + 6 + 9 \\ = 19, \\ {| \vec{v} |}^{2} & = (2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) \\ = 4 {\vec{a}}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2} \\ = 4 {| \vec{a} |}^{2} - 4 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60 ° + {| \vec{b} |}^{2} \\ = 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + 3^{2} \\ = 16 - 12 + 9 \\ = 13 . \end{array}

Deretter regner du ut skalarproduktet på samme måte:

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) \\ = 2 {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - {\vec{b}}^{2} \\ = 2 {| \vec{a} |}^{2} + | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60 ° - {| \vec{b} |}^{2} \\ = 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - 3^{2} \\ = 8 + 3 - 9 \\ = 2 . \end{array}

Disse verdiene setter du inn i formelen for å finne cosinus til vinkelen:

\begin{array}{l} \cos α & = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} \\ = \frac{2}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{13}} \\ = \frac{2}{\sqrt{247}} . \end{array}

Du finner til slutt vinkelen:

α = \cos^{- 1} (\frac{2}{\sqrt{247}}) \approx 82, 51 °

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!