Sluttverdier og tidslinjer

I økonomi er det viktig å snakke om sluttverdier, siden verdien av en pengestrøm endrer seg over tid. 1 kr i dag er ikke verdt nøyaktig like mye som 1 kr om ett år. Inflasjon og den generelle økonomiske utviklingen i verden er med på å påvirke verdien til en pengestrøm. Det er derfor viktig at du tenker på dette når du ser på pengestrømmer i ulike perioder.

Teori

Sluttverdi

Når det er snakk om sluttverdier beskriver du hvor mye en pengestrøm er verdt en gang i fremtiden. Sluttverdier er ofte tilknyttet sparing og avbetaling, og har kvotient

k = vekstfaktor = (1 + p 100) n

Sluttverdien Kn av et beløp K0 som skal benyttes om n tidsperioder er gitt ved:

Kn = K0 (1 + p 100) n,

hvor p er renten i prosent.

Eksempel 1

Gitt at du setter 50000kr i et fond som garanterer 7,5% årlig avkastning de neste 20 årene. Hvor mye har du i banken om 20 år?

Kn = 50000 (1 + 7,5 100) 20 = 212392,60kr

Altså, dersom du setter 50000 kr i banken i dag har du 212392,60 kr om 20 år ved 7,5 % rente.

Avbetaling og sparing

Når du skal regne på avbetaling og sparing er det svært lurt å tegne tidslinjer. En tidslinje hjelper deg å finne hvor mange perioder pengene forrentes. Her kommer et eksempel på sluttverdi ved sparing.

Eksempel 2

Hvor mye kommer du til å ha i banken dersom du sparer 1000kr i måneden i 15 år? Du bestemmer deg for å sette inn et årlig beløp og renten er 4,7%.

I denne typen oppgaver er det svært lurt å bruke tidslinjer! Men, først må du finne ut hvor mye dette er i året:

1000 12 = 12000kr

Da blir tidslinjen som følger:

Tidslinje som viser sluttverdien til de årlige innskuddene

Dette gir den geometriske rekken:

12000 1,047 + 12000 1,0472 + + 12000 1,04715,

12000 1,047 + 12000 1,0472 + + 12000 1,04715,

med

a1 = 12000 1,047,k = 1,047,n = 15.

a1 = 12000 1,047,k = 1,047,n = 15.

Dermed kan du sette tallene rett inn i formelen for summen av en geometrisk rekke:

S15 = (12000 1,047) 1,04715 1 1,047 1 = 265071,3kr

S15 = (12000 1,047) 1,04715 1 1,047 1 = 265071,3kr

Altså, på 15 år sparer du 265071,30 kr. Dersom du ikke hadde fått renter ville du ha spart 12000 15 = 180000kr. Rentefortjenesten er dermed

265071,30kr 180000kr = 85071,30kr.

Ganske kult!

Eksempel 3

01.01.2015 opprettet Siv Jensen en sparekonto med rentefot 4,5% og satte inn 10000kr. Hun skal fortsette å sette inn 10000kr i starten av hvert år.

Deloppgave Siv ønsker å fortsette å spare til hun har 250000kr. Hvor mange år Siv spare før hun har 250000kr kontoen, gitt at renten holder seg uendret 4,5%?

Dette gir den geometriske rekken

10000 1,045 + 10000 1,0452 + + 10000 1,045n.

10000 1,045 + 10000 1,0452 + + 10000 1,045n.

Den geometriske rekken kan også uttrykkes i en tidslinje

Tidslinje som viser sluttverdien til de årlige innskuddene over n år

Her er a1 = 10000 1,045 og k = 1,045. Sluttsummen er gitt, Sn = 250000. Tallet n er ukjent, og det er denne du må finne. Da må du bruke formelen for summen av en geometrisk rekke, og løse med hensyn på n. Svaret vil bli hvor mange år Siv trenger å spare for å få den ønskede sluttsummen.

Sn = a1kn 1 k 1 250000 = 10000 1,045 1,045n 1 1,045 1

Denne likningen skriver du med et digitalt hjelpemiddel, for eksempel CAS i GeoGebra. Da ender du opp med n = 16,6. Dette betyr at Siv Jensen må spare i 17 år før hun har fått 250000 kr på sparekontoen sin.

Deloppgave – Siv Jensen ønsker kun å spare i 15 år før hun har 250000kr på konto. Rentefoten er fortsatt det samme, 4,5%. Hvor stort innskudd må Siv sette inn i starten av hvert år nå, om hun skal 250000kr 15 år?

Dette kan skrives som den geometrisk rekken

x 1,045 + x 1,0452 + + x 1,04514 + x 1,04515,

x 1,045 + x 1,0452 + + x 1,04514 + x 1,04515,

Som også kan uttrykkes ved tidslinjen

Tidslinje som viser sluttverdien til årlige innskudd av x kroner over 15 år

Nå er det innskuddet, du kaller det x, som er ukjent. Dermed får du at

a1 = x 1,045,k = 1,045, n = 15,Sn = 250000.

a1 = x 1,045,k = 1,045,n = 15,Sn = 250000.

Du bruker samme formel som i forrige deloppgave, bare at du nå må løse for x:

Sn = a1kn 1 k 1 250000 = x 1,045 1,04515 1 1,045 1

Løser du denne med et digitalt hjelpemiddel får du at Siv Jensen må sette inn ca. 11510,50 kr på sparekontoen i starten av hvert år for å få 250000 kr på konto på 15 år.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!