Basisvektorer

NB! Pensumet om basisvektorer er ikke direkte eksamensrelevant, men er ment som viktig for grunnforståelsen av hvordan vektorer fungerer.

Fire basisvektorer og to vektorer dekomponert ved hjelp av basisvektorene

Teori

Viktige begreper

  • En basis er en mengde med vektorer du kan bruke for å lage alle andre vektorer i planet.

  • En basisvektor er en vektor fra denne mengden.

Teori

Basisvektor

Dersom du har to vektorer x og y som ikke er parallelle, kan du bruke disse som basisvektorer. Disse basisvektorene kan ganges med alle reelle tall. Det betyr at alle andre vektorer i planet kan skrives som en sum av disse vektorene.

Eksempel 1

Gitt basisvektorene [1,1] og [3, 4], skriv [11, 10] ved hjelp av basisvektorene

[11, 10] = k [1,1] + l [3, 4] = [k,k] + [3l, 4l]

[11, 10] = k [1,1] + l [3, 4] = [k,k] + [3l, 4l]

k + 3l = 11 k = 11 3l k + 4l = 10 (11 3l) + 4l = 10 11 + 3l + 4l = 10 7l = 21| : 7 l = 3 k = 11 3l k = 11 3 3 k = 2

k + 3l = 11 k + 4l = 10 k = 11 3l (11 3l) + 4l = 10 11 + 3l + 41 = 10 7l = 21| : 7 l = 3 k = 11 3 3 k = 2

Dermed kan du skrive

[11, 10] = 2 [1,1] + 3 [3, 4] = [2,2] + [9, 12]

[11, 10] = 2 [1,1] + 3 [3, 4] = [2,2] + [9, 12]

Her ser du at vektoren [11, 10] kan skrives som en sum av de to basisvektorene multiplisert med konstantene 2 og 3.

Eksempel 2

Gitt vektorene

u = 2a b, v = 6a 2b,

finn vinkelen mellom vektorene u og v når |a| = 2, |b| = 3 og a b = 3

Vinkelen mellom u og v blir dermed

cos α = u v |u| |v|

Her må du først regne ut u v:

u v = (2a b) (6a 2b) = 12a2 4a b + 6a b + 2b2 = 12a2 + 2a b + 2b2 = 12 |a|2 + 2a b + 2 |b|2 = 12 22 + 2 3 + 2 32 = 48 + 6 + 18 = 24

Du må også regne ut lengden av u og v. Husk at a2 = |a|2.

|u|2 = (2a b) (2a b) = 4 |a|2 4a b + |b|2 = 4 22 4 3 + 32 = 16 12 + 9 = 13 |u| = |u | 2 = 13, |v|2 = (6a 2b) (6a 2b) = 36 |a|2 24a b + 4 |b|2 = 36 22 24 3 + 4 32 = 144 72 + 36 = 108 |v| = |v | 2 = 108.

Nå setter du uttrykkene tilbake i formelen og finner vinkelen. Vinkelen mellom u og v blir dermed

cos α = 24 13 108 0,64, α cos 1 (0,64) 130,1°.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!