Hvordan løse likninger med substitusjon

Å forenkle kompliserte uttrykk ved hjelp av substitusjon er ofte lurt. Når du substituerer bytter du et uttrykk med en bokstav. Ofte brukte bokstaver er $u$ , $v$ , $w$ , $z$ .

Teori

Substitusjon

Når du substituerer setter du en ny bokstav lik en del av uttrykket ditt

1.: Sett $u = faktor$ og regn videre med det.
2.: Sett tilbake i $u$ og finn svaret.

Eksempel 1

Løs likningen $2^{2 x} - 2^{x + 1} + 1 = 0$

Denne kan se litt snål ut, men med litt hjelp fra potensreglene blir den finfin.

\begin{array}{l} 2^{2 x} - 2^{x + 1} + 1 & = 0 \end{array}

Gjør om likningen ved hjelp av potensreglene for å substituere:

\begin{array}{l} {(2^{x})}^{2} - 2 \cdot 2^{x} + 1 & = 0 \end{array}

Du ser at $2^{x} = u$ gir en vanlig andregradslikning:

\begin{array}{l} u^{2} - 2 \cdot u + 1 & = 0 \\ u^{2} - 2 u + 1 & = 0 \end{array}

Du ser at dette er en andregradslikning som løses med $a b c$ -formelen eller ved faktorisering. Du finner derfor $u -$ verdiene:

\begin{array}{l} u^{2} - 2 u + 1 & = 0 \\ (u - 1) (u - 1) & = 0 \\ {(u - 1)}^{2} & = 0 \\ u - 1 & = 0 \\ u & = 1 \end{array}

Setter verdien for $u$ inn i $2^{x} = u$ og løser for $x$ : $\begin{array}{l} 2^{x} & = 1 \\ \lg 2^{x} & = \lg 1 \\ x \cdot \lg 2 & = 0 & (\lg 1 = 0) \\ x & = \frac{0}{\lg 2} = 0 \end{array}$

Eksempel 2

Løs likningen $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$

For å løse denne type likninger hjelper det at du gjenkjenner at $x^{4} = {(x^{2})}^{2}$ . Da kan du substituerer og løse som en vanlig andregradslikning:

\begin{array}{l} x^{4} - 5 x^{2} + 6 & = 0 \\ {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 6 & = 0 \end{array}

Setter $x^{2} = u$ og substituerer:

\begin{array}{l} u^{2} - 5 u + 6 & = 0 \end{array}

Denne likningen kan du løse med $a b c$ -formelen eller ved inspeksjon:

\begin{array}{l} u & = \frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \\ = \frac{5 \pm 1}{2} \end{array}

Nå deler du opp i to likninger, én med pluss i telleren og én med minus i telleren:

\begin{array}{l} u_{1} & = \frac{5 + 1}{2} & u_{2} & = \frac{5 - 1}{2} \\ = \frac{6}{2} & = \frac{4}{2} \\ = 3 & = 2 \end{array}

Til slutt setter du disse verdiene tilbake i substitusjonen $2^{x} = u$ for å finne verdiene til $x$ : $\begin{array}{l} x^{2} & = 3 & x^{2} & = 2 \\ x & = \pm \sqrt{3} & x & = \pm \sqrt{2} \end{array}$

Svaret du får er dermed $x_{1} = \sqrt{3}$ , $x_{2} = - \sqrt{3}$ , $x_{3} = \sqrt{2}$ og $x_{4} = - \sqrt{2}$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er nullfaktorregelen for likninger?

Neste oppslag

Hvordan løse likninger grafisk

Tilbake