Hva er algebraens fundamentalteorem?

Teorien om komplekse tall kulminerer i algebraens fundamentalteorem. Som navnet tilsier er algebraens fundamentalteorem et viktig resultat. Dette er fordi teoremet garanterer at alle algebraiske likninger med komplekse koeffisienter har løsninger. En algebraisk likning er en likning som kan skrives på formen $f (x) = g (x)$ , der $f (x)$ og $g (x)$ er polynomer.

Regel

Algebraens fundamentalteorem

La $f_{n} (z)$ være et komplekst polynom

c_{n} z^{n} + c_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + c_{1} z + c_{0}

av grad $n$ med koeffisienter $c_{n}, c_{n - 1}, \dots, c_{1}, c_{0} \in ℂ$ . Da finnes det komplekse tall $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n} \in ℂ$ slik at

f_{n} (z) = c_{n} (z - r_{1}) \dots (z - r_{n}) .

f_{n} (z) = c_{n} (z - r_{1}) (z - r_{2}) \dots (z - r_{n}) .

Algebraens fundamentalteorem sier at $f_{n} (z)$ har $n$ entydig bestemte nullpunkter $r_{1}, r_{2}, \dots r_{n} \in ℂ$ . Nullpunktene til $f_{n} (z)$ kalles også for røttene til $f_{n} (z)$ . Denne betydningen av ordet «rot» må ikke forveksles med $n$ -te røttene til et komplekst tall. Selv om $f_{n} (z)$ har $n$ entydig bestemte røtter, betyr ikke dette at alle nullpunktene til $f_{n} (z)$ nødvendigvis er ulike. Røttene til $f_{n} (z)$ som forekommer flere ganger har multiplisitet over 1. Multiplisiteten til en rot $r$ er mål på antall ganger $(z - r)$ går opp i $f_{n} (z)$ . Den riktige tolkningen av algebraens fundamentalteorem er derfor at $f_{n} (z)$ har $n$ ulike røtter om man teller med multiplisitet. Algebraens fundamentalteorem sikrer at alle polynomer av grad $n$ kan faktoriseres i $n$ lineære komplekse faktorer.

Bevis av fundamentalteoremet for andregradspolynomer

For andregradspolynomet $f_{2} (z) = a z^{2} + b z + c$ sier fundamentalteoremet at $f_{2} (z)$ kan faktoriseres på formen $f_{2} (z) = (z - r_{1}) (z - r_{2})$ , der $r_{1}$ og $r_{2}$ er røttene til $f_{2} (z)$ . Røttene til $f_{2} (z)$ finner du ved å bruke $a b c$ -formelen

z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Om diskriminanten $b^{2} - 4 a c$ er positiv eller negativ vil $a b c$ -formelen gi to forskjellige røtter. Da vil faktoriseringen av $f_{2} (z)$ ha to forskjellige faktorer. Om diskriminanten er $0$ , vil $a b c$ -formelen gi deg én løsning. For å vise algebraens fundamentalteorem for andregradspolynomer må du vise at hvis $f_{2} (z)$ har én rot $r$ , fremkommer faktoren $(z - r)$ to ganger i faktoriseringen av $f_{2} (z)$ . Dette vil da medføre at alle andregradspolynomer kan faktoriseres på formen gitt av fundamentalteoremet.

Løsningene på likningen $f_{2} (z) = 0$ finner du ved å bruke $a b c$ -formelen. Fra $a b c$ -formelen kan du derfor komme tilbake til uttrykket $f_{2} (z)$ ved å få $0$ på den ene siden av likhetstegnet

z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Legger til $\frac{b}{2 a}$ på begge sider:

z + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Opphøyer begge sider i andre:

{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .

Trekker fra $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ på begge sider:

{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} = 0 .

Nå kan $f_{2} (z)$ skrives på formen

f_{2} (z) = {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .

Om $b^{2} - 4 a c = 0$ , blir andregradspolynomet

\begin{array}{l} f_{2} (z) & = {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \\ = {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} . \end{array}

Roten til dette polynomet er $r = - \frac{b}{2 a}$ . Akkurat som algebraens fundamentalteorem sier, fremkommer faktoren med denne roten to ganger i faktoriseringen av $f_{2} (z)$ : $\begin{array}{l} f_{2} (z) & = {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} \\ = (z + \frac{b}{2 a}) (z + \frac{b}{2 a}) . \end{array}$

Fordi roten fremkommer to ganger i faktoriseringen kalles dette en dobbeltrot av $f_{2} (z)$ . Alle andregradspolynomer kan skrives som produktet av to lineære faktorer, også når likningen $f_{2} (z) = 0$ kun har én løsning. Med dette er algebraens fundamentalteorem for andregradspolynomer bevist.

Q.E.D

For å bevise algebraens fundamentalteorem for generell orden kreves betydelig mer avansert matematikk.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hvordan faktorisere komplekse polynomer

Tilbake