Hvordan finne komplekse n-te røtter

Tallet 1 har ingen reelle kvadratrøtter fordi det er ingen reelle tall som multiplisert med seg selv blir negativt. Løsningen på dette problemet er å definere den imaginære enheten i som roten av 1. Ved å bruke i viser det seg at du kan finne generelle n-te røtter av alle tall, inkludert de komplekse tallene:

Teori

Definisjon av n-te rot

Det komplekse tallet w er en n-te rot av z om w oppfyller

wn = z.

En n-te rot av tallet z er et tall som ganget med seg selv n ganger gir z.

For å finne n-te røttene til et komplekst tall z, lønner det seg å skrive zpolarform. Om du skriver z = rei𝜃 kan du enkelt finne et tall w0 som oppfyller definisjonen av n-te røtter ved å bruke regneregler for potensregning:

w0 = (rei𝜃) 1n = r1nei𝜃n.

For å finne en n-te rot av z tar du n-te roten av normen til z og n-te delen av argumentet til z. Det er derimot mulig å finne flere n-te røtter av z fordi polarformen til z ikke er unik. En rotasjon på 2π radianer endrer ikke verdien til z, så du kan skrive

z = rei(𝜃+2πk),

for et vilkårlig heltall k . Ved å bruke potensreglene får du et generelt uttrykk for n-te røttene til z:

wk = r1 nei(𝜃 n+2π n k).

Hvert heltall k vil gi deg en ny n-te rot wk, så lenge k = 0, 1, 2,,n 1. Om k blir n eller større, vil du ikke lengre få nye n-te røtter. Dette er fordi du nå har rotert 2π radianer og er tilbake til utgangspunktet w0.

Formel

n-te røtter

For alle komplekse tall z = rei𝜃0 finnes det n ulike n-te røtter w0,w1,w2,,wn1 gitt ved

wk = r1 nei(𝜃 n+2π n k),

for heltallig k = 0, 1, 2,,n 1.

Alle n-te røttene til z har samme norm, og forskjellen i argument mellom wk og wk1 er 2π n . Dette gjør at om du kjenner wk kan du finne wk+1 ved

wk+1 = w+ wk,

der w+ = ei2π n . Dette er fordi en multiplikasjon med w+ kan tenkes på som en rotasjon av 2π n radianer i det komplekse planet.

Strategien for å finne n-te røttene til z er først å finne w0 = z1 n og deretter finne de øvrige n 1 røttene ved å gange med w+.

Eksempel 1

Finn fjerderøttene til z = 81

For å finne fjerderøttene lønner det seg å skrive z på polarform. Her er normen r = 81, og argumentet 𝜃 = π. På polarform er derfor

z = 81eiπ.

Videre kan du finne w0:

w0 = z1 4 = 3eiπ 4

og w+:

w+ = ei2π 4 = eiπ2 .

Nå kan du finne de øvrige røttene ved å bruke sammenhengen wk+1 = w+ wk:

w1 = w+ w0 = eiπ2 3eiπ4 = 3ei3π 4 , w2 = w+ w1 = eiπ2 3ei3π 4 = 3ei5π 4 , w3 = w+ w2 = eiπ2 3ei5π 4 = 3ei7π 4 .

w1 = w+ w0 = eiπ2 3eiπ4 = 3ei3π 4 w2 = w+ w1 = eiπ2 3ei3π 4 = 3ei5π 4 w3 = w+ w2 = eiπ2 3ei5π 4 = 3ei7π 4 .

Siden oppgaven oppga tallet z på kartesisk form, burde du også oppgi svarene på kartesisk form. På kartesisk form er fjerderøttene til z:

w0 = 32 2 + 32 2 i w1 = 32 2 + 32 2 i w2 = 32 2 32 2 i w3 = 32 2 32 2 i.

Siden alle n-te røttene til et tall har samme norm vil n-te røttene w0,w1,w2,,wn1 fordeles uniformt utover en sirkel i det komplekse planet. Fjerderøttene til 81 fra Eksempel 1 ligger på en sirkel i det komplekse planet med radius 3, og vinkelen mellom hver rot er π 2 radianer.

Fjerderøttene til 81 visualisert i det komplekse plan.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!