>Regning>Hvordan finne komplekse n-te røtter

Hvordan finne komplekse n-te røtter

Tallet $- 1$ har ingen reelle kvadratrøtter fordi det er ingen reelle tall som multiplisert med seg selv blir negativt. Løsningen på dette problemet er å definere den imaginære enheten $i$ som roten av $- 1$ . Ved å bruke $i$ viser det seg at du kan finne generelle $n$ -te røtter av alle tall, inkludert de komplekse tallene:

Teori

Definisjon av $n$ -te rot

Det komplekse tallet $w$ er en $n$ -te rot av $z$ om $w$ oppfyller

w^{n} = z .

En $n$ -te rot av tallet $z$ er et tall som ganget med seg selv $n$ ganger gir $z$ . For å finne $n$ -te røttene til et komplekst tall $z$ , lønner det seg å skrive $z$ på polarform. Om du skriver $z = r e^{i 𝜃}$ kan du enkelt finne et tall $w_{0}$ som oppfyller definisjonen av $n$ -te røtter ved å bruke regneregler for potensregning:

w_{0} = {(r e^{i 𝜃})}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{𝜃}{n}} .

For å finne en $n$ -te rot av $z$ tar du $n$ -te roten av normen til $z$ og $n$ -te delen av argumentet til $z$ . Det er derimot mulig å finne flere $n$ -te røtter av $z$ fordi polarformen til $z$ ikke er unik. En rotasjon på $2 π$ radianer endrer ikke verdien til $z$ , så du kan skrive

z = r e^{i (𝜃 + 2 π \cdot k)},

for et vilkårlig heltall $k \in ℤ$ . Ved å bruke potensreglene får du et generelt uttrykk for $n$ -te røttene til $z$ :

w_{k} = r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{𝜃}{n} + \frac{2 π}{n} \cdot k)} .

Hvert heltall $k$ vil gi deg en ny $n$ -te rot $w_{k}$ , så lenge $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ . Om $k$ blir $n$ eller større, vil du ikke lengre få nye $n$ -te røtter. Dette er fordi du nå har rotert $2 π$ radianer og er tilbake til utgangspunktet $w_{0}$ .

Formel

$n$ -te røtter

For alle komplekse tall $z = r e^{i 𝜃} \neq 0$ finnes det $n$ ulike $n$ -te røtter $w_{0}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n - 1}$ gitt ved

w_{k} = r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{𝜃}{n} + \frac{2 π}{n} \cdot k)},

for heltallig $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 .$

Alle $n$ -te røttene til $z$ har samme norm, og forskjellen i argument mellom $w_{k}$ og $w_{k - 1}$ er $\frac{2 π}{n}$ . Dette gjør at om du kjenner $w_{k}$ kan du finne $w_{k + 1}$ ved

w_{k + 1} = w_{+} \cdot w_{k},

der $w_{+} = e^{i \frac{2 π}{n}}$ . Dette er fordi en multiplikasjon med $w_{+}$ kan tenkes på som en rotasjon av $\frac{2 π}{n}$ radianer i det komplekse planet.

Strategien for å finne $n$ -te røttene til $z$ er først å finne $w_{0} = z^{\frac{1}{n}}$ og deretter finne de øvrige $n - 1$ røttene ved å gange med $w_{+}$ .

Eksempel 1

Finn fjerderøttene til $z = - 81$

For å finne fjerderøttene lønner det seg å skrive $z$ på polarform. Her er normen $r = 81$ , og argumentet $𝜃 = π$ . På polarform er derfor

z = 81 e^{i π} .

Videre kan du finne $w_{0}$ :

w_{0} = z^{\frac{1}{4}} = 3 e^{i \frac{π}{4}}

og $w_{+}$ :

w_{+} = e^{i \frac{2 π}{4}} = e^{i \frac{π}{2}} .

Nå kan du finne de øvrige røttene ved å bruke sammenhengen $w_{k + 1} = w_{+} \cdot w_{k}$ :

\begin{array}{l} w_{1} & = w_{+} \cdot w_{0} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{3 π}{4}}, \\ w_{2} & = w_{+} \cdot w_{1} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{5 π}{4}}, \\ w_{3} & = w_{+} \cdot w_{2} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{7 π}{4}} . \end{array}

\begin{array}{l} w_{1} & = w_{+} \cdot w_{0} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{π}{4}} = 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ w_{2} & = w_{+} \cdot w_{1} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{3 π}{4}} = 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ w_{3} & = w_{+} \cdot w_{2} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{5 π}{4}} = 3 e^{i \frac{7 π}{4}} . \end{array}

Siden oppgaven oppga tallet

z

på kartesisk form, burde du også oppgi svarene på kartesisk form. På kartesisk form er fjerderøttene til

z

\begin{array}{l} w_{0} & = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i \\ w_{1} & = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i \\ w_{2} & = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i \\ w_{3} & = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i . \end{array}

Siden alle $n$ -te røttene til et tall har samme norm vil $n$ -te røttene $w_{0}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n - 1}$ fordeles uniformt utover en sirkel i det komplekse planet. Fjerderøttene til $81$ fra Eksempel 1 ligger på en sirkel i det komplekse planet med radius $3$ , og vinkelen mellom hver rot er $\frac{π}{2}$ radianer.

Fjerderøttene til 81 visualisert i det komplekse plan.

Forrige oppslag

Hvordan forenkle komplekse brøker

Neste oppslag

Hva er de Moivres formel og hvordan bruker du den?

Tilbake

Definisjon av n-te rot

n-te røtter

Definisjon av $n$ -te rot

$n$ -te røtter