Arealet av et parallellogram

Å finne arealet av et parallellogram utspent av u og v er det samme som å beregne lengden av u ×v-vektoren.

Areal utspent av vektorere u og v

Dersom du har vinkelen mellom de to vektorene kan du bruke denne formelen:

Formel

Areal av parallellogram med en kjent vinkel

|u ×v| = |u| |v| sin α,α = (u,v)

Dersom du har vektorene på vektorkoordinatform bruker du denne formelen:

Formel

Areal av parallellogram vektorkoordinatform

|u ×v| = | [x1, y1, z1] × [ x 2, y2, z2] | = |[y1z2 y2z1,z1x2 z2x1, x1y2 x2y1]|

|u ×v| = | [x1, y1, z1] × [ x 2, y2, z2] | = |[y1z2 y2z1,z1x2 z2x1,x1y2 x2y1] |

Eksempel 1

Du skal finne arealet av firkanten som er utspent av u = [1, 3,2] og v = [3, 2, 4].

De begynner med å regne ut kryssproduktet:

u ×v = [ 1, 3, 2] × [ 3, 2, 4] = [3 4 2 (2), (2) (3) 1 4, 1 2 (3) 3] = [12 + 4, 6 4, 2 + 9] = [16, 2, 11] .

u ×v = [ 1, 3, 2] × [ 3, 2, 4] = [3 4 2 (2), (2) (3) 1 4, 1 2 (3) 3] = [12 + 4, 6 4, 2 + 9] = [16, 2, 11] .

Lengden av vektoren vil nå være arealet av firkanten. Du regner ut lengden slik:

162 + 22 + 112 = 256 + 4 + 121 = 381 19,5

162 + 22 + 112 = 256 + 4 + 121 = 381 19,5

Firkanten har areal tilnærmet lik 19,5.

Eksempel 2

Hvis du har to vektorer a og b, der |a| = 5, |b| = 7 og vinkelen mellom de to er 30°, kan du regne ut arealet av parallellogrammet de utspenner ved å sette inn i formelen:

|a ×b| = |a| |b| sin α = 5 7 sin 30° = 5 7 1 2 = 35 2 = 17,5.

Firkanten har alreal lik 17,5.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!